《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第9讲 函数与导数（解析版）

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第 9 讲 函数与导数
[一、必备基础知识]
(一)函数及其性质
1．函数的定义
设集合 A是一个非空的数集，对 A中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y与它对应，则这种对
应关系叫做集合 A上的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域与值域
在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值
a，则由法则 f确定的值 y称为函数在 a处的函数值，记作 y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝
f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．【函数有三个要素：定义域，对应法则与值域】
求函数定义域的常用方法
1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.
2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
3.相同函数的判断
一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，
我们就称这两个函数相等．
4. 函数的表示方法
特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同
【列表法】通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
【图象法】用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
【解析法】用代数式(或解析式)来表示函数的方法叫解析法．
函数三种表示方法的优缺点：
5.分段函数
①分段函数的定义
在函数的定义域内，对于自变量 x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
②分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是
空集．
③作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
如：
f(x)=|x|=
{
x , x≥0
−x , x <0
,定义域为 R，值域为
[0,+∞)
6.函数的单调性
【单调函数的定义】设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值
x1, x2
，
[单调递增函数]当
x1<x2
时，都有
f(x1)<f(x2)
，那么就说函数 f(x)在区间 D上是单调递增函数。
[单调递减函数]当
x1<x2
时，都有
f(x1)>f(x2)
，那么就说函数 f(x)在区间 D上是单调递减函数。
【单调函数的图形趋势】（从左往右）
上升趋势 下降趋势
【函数的单调区间】
若函数 y
＝
f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y
＝
f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D叫做
y
＝
f(x)的单调区间．
【注意】
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，
则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间 D⊆定义域 I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
[如]
①f(x)＝x ② f(x)＝x2
①函数 f(x)＝x在R上单调递增，f(x)＝x的增区间为
;
②函数f(x)＝x2的图像在
(−∞,0)
上单调递减，在
[0,+∞)
上单调递增。函数 f(x)＝x2减区间为
(−∞,0)
，递增区间
为
[0,+∞)
【注：这里不能说单调增区间为（1，5）】
7.函数的奇偶性
(1)函数奇偶性的定义
偶函数 奇函数
定义
条件
对于函数 f(x)的定义域 D内任意一个 x，都有－x∈D
f(－x)＝f ( x ) f(－x)＝－ f ( x )
结论 函数 f(x)叫做偶函数 函数 f(x)叫做奇函数
(2)偶函数的特征:
①在偶函数的定义中，对于任意的 x∈D，都有－x∈D对应,
偶函数的定义域都一定关于原点对称。
②图像关于 x轴对称（与偶函数是等价关系）
③对称区间单调性相反
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