《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第8讲 统计与概率（原卷版）

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第 8 讲 统计与概率
[一、必备基础知识]
1.统计的基本概念
(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体.
(2)个体：构成总体的每一个元素作为个体.
(3)样本：从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本.
(4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量.
2．抽样方法
抽样方法 定义 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机
抽样
设一个总体含有 N个个体，从中
逐个不放回地抽取 n个个体作为
样本(n≤N)，如果每次抽取时总
体内的各个个体被抽到的机会都
相等（常用：抽签法，随机数表
法）
(1)抽样过程
中每个个体被
抽到的可能性
相等；
(2)每次抽出
个体后不再将
它放回，即不
放回抽样
从总体中逐
个抽取
总体中的
个体数较
少
系统抽样
要从容量为 N的总体中抽取容量
为n的样本，可将总体分成均衡
的若干部分，然后按照预先规定
的规则，从每一部分抽取一个个
体，得到所需要的样本的抽样方
法.
将总体均分
成几部分，
按预先确定
的规则分别
在各部分抽
取
在起始部分
抽样时，采
用简单随机
抽样
总体中的
个体数较
多
分层抽样
当总体是由差异明显的几个部分
组成时，在抽样时，将总体分成
互不交叉的层，然后按照一定的
比例，从各层独立地抽取一定数
量的个体，将各层取出的个体合
在一起作为样本，这种抽样方法
叫做分层抽样.
将总体分成
几层，在各
层中按同一
抽样比抽取
在各层抽样
时，采用简
单随机抽样
或系统抽样
总体由差
异明显的
几部分组
成
详细解释：
（1）简单随机抽样
[抽签法]把总体中的 N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个
号签，连续抽取 n次，就得到一个容量为 n的样本.
[适用范围]样本容量和总体容量较小时。
[抽签法的特点]
优点：简单易行，总体的个体数不多时，“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，
从而能够保证样本的代表性．
缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可
能导致抽样不公平．
[随机数法]随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机
数进行抽样.
利用随机数法抽取个体时的注意事项：
①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点.
②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以).
③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读
取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数.
适用范围：总体容量不大时。
[随机数表法的特点]
①优点：操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况
下是行之有效的．
②缺点：如果总体中的个体数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷．
（2）系统抽样
步骤：
①先将总体的 N个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔 k，对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时，取 k＝；当不是整数时，先从总体中随机剔除几
个个体，再重新编号， 然后分段；
③在第 1段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本.通常是将 l加上间隔 k得到第 2个个体编号(l＋k)，再加 k得到第 3个个体编号(l＋2k)，
依次进行下去，直到获取整个样本.
【系统抽样的特点】
①系统抽样适用于总体容量较大，且分布均衡(即个体间无明显的差异)的情况；
②系统抽样的本质是“等距抽样”，要取多少个样本就把总体分成多少组，每组中取一个；
③系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 .
【适用范围】总体中的个体数较多。
（3）分层抽样
分层抽样的实施步骤：
①按某种特征将总体分成若干部分(层)；②计算抽样比.抽样比＝；③各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样
比；④依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本；⑤综合每层抽样，组成样本.
【适用范围】总体由差异明显的几部分组成
例如（1）检测员每 10 分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法
是(　　) A.系统抽样法 B.抽签法 C.随机数法 D.其他抽样方法
【解析】根据系统抽样法的定义和性质进行判断即可.选A
（2）对一个容量为 N的总体抽取容量为 n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取
样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p2，p3，则(　　)
A.p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1 C.p1＝p3＜p2 D.p1＝p2＝p3
【解析】因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选 D.
（3）问题：①有 1 000 个乒乓球分别装在 3个箱子内，其中红色箱子内有 500 个，蓝色箱子内有 200 个，黄色箱子
内有 300 个，现从中抽取一个容量为 100 的样本；②从 20 名学生中选出 3名参加座谈会.
方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.系统抽样；Ⅲ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是(　　)
A.①Ⅰ，②Ⅱ B.①Ⅲ，②Ⅰ C.①Ⅱ，②Ⅲ D.①Ⅲ，②Ⅱ
【解析】对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容
量都较小，宜采用简单随机抽样.故选 B
3.频率分布直方图
频率分布直方图的画法
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。
其一般步骤为：
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