《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第7讲 解析几何（解析版）

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第 7 讲 解析几何
[一、必备基础知识]
（一）直线与圆
1.倾斜角的定义
①在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针旋转到和直线重合
时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．
②与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°.
直线的倾斜角 α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
2．直线的斜率
把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 k＝tan α.
①斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围)k＝0k>0 不存在 k<0
（备注：提供给还没学三角函数的同学参考：
tan (180 °−α)==−tan α
）
②过两点的直线的斜率公式
已知两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果 x1≠x2，那么直线 PQ 的斜率为 k＝(x1≠x2)．
3.两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2⇔k1＝ k 2l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在
图示
4.两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)
⇔k1k2＝－ 1 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0⇒l1⊥ l
2
5.直线方程
点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式 一般式方程
点P(x0，y0)和
斜率
k
斜率 k和直线在
y轴上的截距 b
P1(x1，y1)，P2(x2，
y2)，其中
x1≠x2，y1≠y2
在x，y轴上的截
距分别为 a，b且
a≠0，b≠0
y－y0＝k ( x － x 0)y ＝ kx ＋ b ＝ ＋＝1Ax＋By＋C＝0
斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 0斜率存在且不为
0，不过原点 A，B不同时为 0
【注意】若斜率不存在，且过点 P(x0，y0)的直线方程为
x=x0
6.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2的中点，则
7.一般形式下的平行与垂直问题
设直线 l1与l2的方程分别为 A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为 0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为 0)，
①l1∥l2⇔
②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
一般地，与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为 Bx－Ay＋n＝0.
8.两点间的距离
(1)公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)当直线 P1P2平行于 x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线 P1P2平行于 y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点 P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.
9.点到直线的距离 d＝
10.两条平行直线间的距离
两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝.
（往往转化为点到直线的距离问题）
11.圆的标准方程
(1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为 A(a，b)，半径长为 r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程．
(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2.
12.圆的一般方程
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
13.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
14.直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
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