《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第5讲三角函数及解三角形（解析版）

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第5讲三角函数及解三角形

[一、基础知识必备]

1．角的概念

(1)任意角：

① 角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线

叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；

② 角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线

没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．

(2)终边相同的角

所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍.

(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象

限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度

制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad 常常省略不写）．

如果半径为 r的圆的圆心角 α所对弧的长为 l，那么角 α的弧度数的绝对值是|α|＝.正角的弧度数是正数，负角的

弧度数是负数，零角的弧度数是 0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.

3．任意角的三角函数

（1）单位圆定义：任意角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

（2）比值式定义：设 P(x，y)是角 α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝.它们都是

以角为自变量，以比值为函数值的函数.

注意：三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，设

|OP|＝r，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝.

（3）三角函数值在各象限的符号：

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，

其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

5.诱导公式

角

函数

2kπ＋α

(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α

正弦 sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α

余弦 cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α

正切 tan αtan α－tan α－tan α

口诀函数名不变

符号看象限

函数名改变

符号看象限

统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，

对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k为奇数时，

正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在 α的三角函数值前面加上

当α为锐角时，原函数值的符号”．

6.恒等变换公式

（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))

tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β))

（2）二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α (S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)

tan 2α＝ (T2α)

（3）公式的变形和逆用

在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：

降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α

，

1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.

正切和差公式变形：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1.

配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，1－sin α＝(sin－cos)2.

（4）辅助角公式

asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中 tan φ＝.

7.三角函数图像及其性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R {x|x≠kπ＋,k∈Z}

值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R

对称性

对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)

对称轴:x＝kπ(k∈Z);

对称中心:

(kπ +π

2,0), k ∈Z

对称中心：(k∈Z)，

无对称轴

奇偶性奇函数偶函数奇函数

周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π

单调性

在[－＋2kπ，＋2kπ]上↗

在[＋2kπ，＋2kπ]上↘

(k∈Z)

在[－π＋2kπ，2kπ]上↗

在[2kπ，π＋2kπ]上↘

(k∈Z)

在(－＋kπ，＋kπ)上↗

(k∈Z)

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