《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第4讲 数列（原卷版）

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第 4 讲 数列
[一、必备基础知识]
（一）等差数列
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第 n项与序号 n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的
通项公式．
3．已知数列{an}的前 n项和 Sn，则 an＝.
4.等差数列和等比数列
项目 等差数列{an}等比数列{an}
(1)定义
an−an−1=d
（
n∈N+
,且
n≥2
，公差 d为常
数，）
an
an−1
=q
（
n∈N+
,且
n≥2
，公比 q为
常数
q≠0
）
(2)通项公式
首项为 a1，公差为 d，an＝a1＋(n－1)d.
函数关系：an＝pn＋q
首项为 a1，公比 q,
an＝a1qn－1
(3)前
n
项和公
式Sn
Sn＝＝na1＋d.
函数关系:Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)
Sn＝
(4)等差中项、
等比中项
若a,G,b 成等差数列，则 G为a与b的等差中
项，这时 G＝
G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比
数列⇒G2＝ab⇒G＝±
（注：同号的两个数才有等比中项）
（5）性质
①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)
②k＋l＝m＋n，则 ak＋al＝am＋an.
(k，l，m，n∈N＋)
①
②m＋n＝p＋r，则 am·an＝ap·ar
(m，n，p，q，r，k∈N*)
（三）数列求通项
5.等差等比数列求 an的方法
列关于首项和公差或公比的方程組.
6．已知数列的前 n项和 Sn，求an的方法
(1)第一步，令 n=1,求出 a1＝S1；
(2)第二步，当 n≥2时，求 an＝Sn－Sn－1；
(3)第三步，检验 a1是否满足 n≥2时得出的 an，如果适合，则将 an用一个式子表示；若不适合，将 an用分段形
式写出。
7．已知 an与Sn的关系式，求 an的方法
(1)第一步，令 n=1,求出 a1＝S1；
(2)第二步，当 n≥2时，根据已有 an与Sn的关系式，令 n＝n＋1(或n＝n－1)，再写出一个 an+1 与Sn+1(或an
－
1与
Sn－1)的关系式，然后两式相减，利用公式 an＝Sn－Sn－1消去 Sn，得出 an与an+1(或an与an
－
1)的关系式，从而确定
数列{an}是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。
8．累加法求通项
型如 an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：
第一步　将递推公式写成 an＋1－an＝f(n)；
第二步　依次写出 an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；
第三步　得到 an－a1的值，解出 an；
第四步　检验 a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.
9. 累乘法求通项
型如
an+1
an
=f(n)
的递推公式求通项可以使用累积法
(四)数列求和
10．公式法求和
常用的求和公式有：等差数列的前 n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
等比数列的前 n项和公式：Sn＝
11.错位相减法求和
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
12.裂项相消法求和
方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．常用的裂项公式有：
(1)＝－； (2)＝；
(3)＝－. (4) ＝；
13.分组求和
通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．
[二、典型例题]
题型一 数列的概念
【例 1】下列叙述正确的是(　　)
A.数列 1,3,5,7 与7,5,3,1 是相同的数列 B.数列 0,1,2,3，…可以表示为{n}
C.数列 0,1,0,1，…是常数列 D.数列是递增数列
【例 2】已知数列{an}的通项公式
an
＝.
(1)，是不是该数列的项？如果是，是第几项？(2)从第几项开始，该数列的项大于？
【思考提升 1】设数列 中， （ 且 ），则 （ ）
A．B．C．2 D．
题型二　等差、等比数列基本量的计算
【例 3】记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的通项公式 （ ）
A． B．C． D．
【例 4】已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 .若 ， ，则 ________，_______
_.
【例 5】（1）在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求首项 a1与公差 d.
（2）已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75.
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