《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第3讲 平面向量（原卷版）

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第3讲 平面向量
[一、必备基础知识]
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A为起点、B为终点的向量记作AB，也可用黑
体的单个小写字母 a
，
b
，
c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量AB的大小即向量AB的长度(模)，记为|AB|.
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为 0的向量 零向量记作 0，其方向是任意的
单位向量 长度等于 1个单位的向量　 单位向量记作 e
，
e
＝
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共
线向量)
0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量
不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a
，
b为相反向量，则 a
＝－
b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a平行的单位向量有两个，即向量和
－
.
3．向量的线性运算
向量运
算定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的
运算　
三角形法则❷ 平行四边形法则
(1)交换律：a
＋
b
＝
b
＋
a；
(2)结合律：(a
＋
b)
＋
c
＝
a
＋
(b
＋
c)
减法
求a与b的相反
向量
－
b的和的运
算叫做 a与b的
差三角形法则
a
－
b
＝
a
＋
(
－
b)
数乘 求实数 λ与向量 a
的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当 λ＞0时，λa 的方向
与a的方向相同；当 λ＜0时，λa
的方向与 a的方向相反；当 λ＝0
时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝
λa＋μa；λ(a
＋
b)＝λa＋
λb
❷向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a
＋
b
＋
c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、
终点.
4．共线向量定理
向量 a(a
≠
0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.只有 a≠0才保证实数 λ的存在性和唯一性.
5．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对
实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
2基底给定，同一向量的分解形式唯一；
3如果对于一组基底 e1，e2，有 a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
6．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法：
① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
当且仅当 x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　　
8．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图所示，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a
与b的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　
(2)范围：夹角 θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量 a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量 a，b相互垂直，记作 a⊥b；
当θ＝π时，两向量 a，b共线但反向．
9．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做 a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|
cos θ，其中 θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
10．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量 b在向量 a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量 a在向量 b的方向
上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　　　　　　　　　
11．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与 c共线
的向量，a·(b·c)表示一个与 a共线的向量，而 c与a不一定共线．
12．平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
13．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝；　 　(3)a
⊥
b⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)a·b＝x1x2＋y1y2; (4)cos θ＝.
14.常用结论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)若P为线段 AB 的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若点 A，B，C三点共线，则 λ＋μ＝1.
(3)两个向量 a与b的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0时不成立)；
两个向量 a与b的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π时不成立)．
[二、典型例题]
题型一 平面向量的概念
【例 1】（多选题）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则 D．若 与 是单位向量，则| |=| |
【例 2】（多选题）设 是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【思考提升 1】给出下列命题：
① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；② λa＝0(λ为实数)，则 λ必为零；
③λ，μ为实数，若 λa＝μb，则 a与b共线．其中错误的命题的个数为(　　)
A．0　　 　B．1 C．2 D．3
题型二 平面向量的线性运算
【例 3】化简 得（ ）
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