《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第2讲 集合与常用逻辑用语（解析版）

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第 2 讲 集合与常用逻辑用语
[一、必备知识基础]
(一)集合
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn
图法．
列举法：如{1,2,3,4},{1,2,3，…，1 000}；
描述法：如
{x∈R|0≤x≤3}
，或
{x|0≤x≤3，x∈R}
,
【强调】描述法表示集合时，应注意集合的代表元素是什么。如 与
不同。
提示：实数范围可省略，一般 x默认取值为实数，如：
{x|0≤x≤3}
，
（3）图示法：数轴或 venn 图（韦恩图）
数轴：如
A={x|x>1}
venn 图:用封闭的图形表示集合,如图。
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 NN＋(或N*)Z Q R
2.集合间的基本关系及运算
符号 定义 Venn 图
子集 A⊆Bx∈A⇒x∈B
真子集 A
⊂
¿
BA⊆B且存在 x0∈B但x0∉A
并集 A∪B{x|x∈A或x∈B}
交集 A∩B{x|x∈A且x∈B}
补集 ∁UA(A⊆U){x|x∈U且x∉A}
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
注意空集是一个没有任何元素的特殊集合，用符号∅表示，注意与集合{0}的区别
3．集合的运算性质
(1)并集的性质：A⊆B⇔A∪B＝B.
(2)交集的性质：A⊆B⇔A∩B＝A.
(3)补集的相关性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.∁U(∁UA)＝A.
4.子集个数结论：
①含有n个元素的集合有 2 n
个子集；
②含有n个元素的集合有 2 n
－ 1
个真子集；
③含有n个元素的集合有 2 n
－ 2
个非空真子集．
（二）充要条件及量词
5．充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p是q的充要条件．
6.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
7全称命题和特称命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对M中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀ x ∈ M ， p ( x )
特称命题 存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立 ∃ x 0∈ M ， p ( x 0)
8.含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x)∃ x 0∈ M ， ¬ p ( x 0)
∃x0∈M，p(x0)∀ x ∈ M ， ¬ p ( x )
[二、典型例题]
题型一 集合的基本概念
【例 1】下列集合与集合 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 表示数字 和 的集合.对于 A：集合中的元素代表点 ，与集合 不同，A错误；
对于 B：集合中的元素代表点 ，与集合 不同，B错误；对于 C：由 得： 或 ，
与集合 元素相同，C正确；对于 D：表示两个代数式的集合，与集合 不同，D错误.故选：C.
【例 2】已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【详解】 ， ， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以共有 9个，故选：A.
【例 3】已知集合 ，集合 中至少有 2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为集合 中至少有 2个元素，所以 ，解得 ，故选：D
【例 4】若 ，则 a =（ ）
A．2 B．1或－1 C．1 D．－1
【答案】D
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