《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第1讲 复数（解析版）

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第 1 讲 复数
[一、必备基础知识]
1．复数的有关概念
(1)定义：
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a叫做实部，b叫做虚部．
z=a＋bi称为复数的代数形式，其中 i为虚数单位，
i2=−1
。
(2)复数的分类：
z=a＋bi为实数⇔b＝0； z=a＋bi为虚数⇔b≠0； z=a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0。
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
＝＝＝＋ i（c＋d i≠0）．
3．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
(2)模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
[二、典型例题]
题型一 复数的概念
【例 1】（多选题）下列命题错误的是（ ）
A． B． C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【详解】 ， 正确； ， 错误；
虚数无法比较大小， 错误；若 ，则 ， 错误；故选：
【例 2】已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 ， 的虚部为 ，故选：B
【例 3】已知 是实数， 是纯虚数，则 （ ）
A．1 B．C．D．
【答案】A
【解】 ，所以 ， ，故选：A
【例 4】设 ，且 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由复数相等，得 ， ，则 .故选：C.
【思考提升 1】已知 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】 ， ，因此， .故选：A.
【思考提升 2】（多选题）．若复数 z满足 ，则（ ）
A．B．z的实部为 1
C．D．
【答案】BC
【详解】由 ，得 ，
所以 z的实部为 1， ， ，故选：BC
【思考提升 3】已知 是虚数单位， ,则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，反过来 ，则
，解得 或 ，故 是 的充分不必要条件，故
选A
考点：充要条件的判断,复数相等.
题型二 复数的代数运算
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