《备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）》专题13 概率综合题（解析版）

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专题 13 概率综合题
1．（2021•广州一模）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投 5个球，每一个球可
以选择在 区投篮也可以选择在 区投篮，在 区每投进一球得 2分，投不进球得 0分；在 区每投进一
球得 3分，投不进球得 0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在 区和 区每次投篮进球的概率分别
为 和 ，且各次投篮的结果互不影响．
（1）若甲投篮得分的期望值不低于 7分，则甲选择在 区投篮的球数最多是多少个？
（2）若甲在 区投 3个球且在 区投 2个球，求甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率．
【答案】（1）甲选择在 区投篮的球数最多是 3个；（2）
【详解】（1）甲在 区每次投篮得分的期望为 ，
在 区每次投篮得分的期望为 ，
设甲选择在 区投篮的球数为 个，
则 ，
解得 ，
所以甲选择在 区投篮的球数最多是 3个．
（2）甲在 区投中 0个，在 区投中 1，2，3个的概率为 ，
甲在 区投中 1个，在 区投中 2个或 3个的概率 ，
甲在 区投中 2个得 6分，此时在 区投篮得分不可能高于 区，
故甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率为 ．
2．（2021•深圳一模）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3次，先在 处投一次三分球，
投进得 3分，未投进不得分，以后均在 处投两分球，每投进一次得 2分，未投进不得分．测试者累计得
分高于 3分即通过测试，并终止投篮．
甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 处和 处各投 10 次，根据他们每轮
两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．
【答案】（1）0.3；（2）
【详解】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为：
，
甲同学三分球投篮命中的概率为：
，
设甲同学累计得分为 ，
则
，
甲同学通过测试的概率为 0.3．
（2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为 0.4，三分球投篮命中的概率为 0.2，
设乙同学累计得分为 ，
则 ，
，
设“甲得分比乙得到高”为事件 ，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 ，
则 ，
（B） ，
由条件概率得：
．
3．（2021•湛江一模）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法
要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．
（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；
（2）用 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）见解析
【详解】（1）甲选排球的概率 ，乙未选排球的概率 ，
甲选排球且乙未选排球的概率 ．
（2）用 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则 ，1，2，3．
乙，丙选排球的概率都为 ，
选排球 不选排球
甲
乙
丙
， ，
，
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