《备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）》专题09 填空压轴题（原卷版）

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专题 09 填空压轴题
1．（2021•广州一模）已知三棱锥 的底面 是边长为 6的等边三角形， ，
先在三棱锥 内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥 的
三个侧面都相切，则球 的体积为 　 　，球 的表面积为 　 　．
2．（2021•深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三
角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知 内接于单位圆，以 ， ， 为边向外作
三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ．若 ，则△ 的面积最大值为
．
3．（2021•湛江一模）已知 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 ， 恒成
立，当 时， ，则 　 　．
4．（2021• 福田区校级二模）已知函数 ， ，若总存在直线与函数
， 图象均相切，则 的取值范围是　 　．
5．（2021•广东一模）在四面体 中， ，二面角 为 ，则
四面体 的外接球的表面积为　 　．
6．（2021•惠州一模）已知函数 ，关于 的不等式 只有 1个整数解，则实数
的取值范围是　 　．
7．（2021•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德费马 于 1643 年提出的平面几
何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中
的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于
时 ， 则 使 得 的 点 即 为 费 马 点 ． 已 知 点 为 的 费 马 点 ， 且
，若 ，则实数 的最小值为　 　．
8．（2021•广东二模）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线 交于 ， 两点，
分别过 ， 两点作抛物线 的切线 ， ，设直线 与 交于点 ， ，则 　 　，
面积的最小值为　　 ．
9． （ 2021• 潮 州 一 模 ） 已 知 定 义 域 为 的 函 数 是 奇 函 数 ， 则 不 等 式
解集为　 　．
10．（2021•珠海一模）若以函数 的图像上任意一点 ， 为切点作切线， 图像上总
存在异于 点的点 ， ，使得以 为切点的直线 与 平行，则称函数 为“美函数”，下面四
个函数中是“美函数”的是　 　 ．
11．（2021•佛山二模）在 中，点 ， 是线段 上的两点， ， ，
则 　 　， 的取值范围是　 　．
12．（2021•湛江三模）在三棱锥 中， 是以 为直角的等腰直角三角形， 是边长为
2的等边三角形，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
13．（2021•汕头一模）在三棱锥 中， 是边长为 2的等边三角形， 是以 为斜边的
直角三角形，二面角 的大小为 ，则该三棱锥外接球的表面积为　 　．
14．（2021•惠州模拟）在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最
小值．现有边长为 2的正方形 ，则到定点 距离为 1的点围成的几何体的体积为　 　；该
正方形 区域（包括边界以及内部的点）记为 ，则到 距离等于 1的点所围成的几何体的体积为
．
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