《备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）》专题09 填空压轴题（解析版）

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专题 09 填空压轴题
1．（2021•广州一模）已知三棱锥 的底面 是边长为 6的等边三角形， ，
先在三棱锥 内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥 的
三个侧面都相切，则球 的体积为 　 　，球 的表面积为 　 　．
【答案】 ；
【详解】设 为 外接圆的圆心，因为 是边长为 6的等边三角形，
所以 ，
因为 ，解得 ，
设球 的半径为 ，球 的半径为 ，
由等体积法可得，
，
所以 ，
所以球 的体积为 ；
作截面图如图所示，可知 ，
则 ， ， ，
因为△ △ ，则 ，即 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ．
2．（2021•深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三
角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知 内接于单位圆，以 ， ， 为边向外作
三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ．若 ，则△ 的面积最大值为
．
【答案】
【详解】不妨设 ， ，若 ，
由正弦定理，得 ，故 ，
所以由余弦定理得 ．
所以 ．
显然△ 为由 得到的拿破仑三角形（等边三角形），设其边长为 ，
易知 ，且 ，
所以 ，
故△ 的面积 ．
当且仅当 时取等号．
故△ 面积的最大值为 ．
3．（2021•湛江一模）已知 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 ， 恒成
立，当 时， ，则 　 　．
【答案】
【详解】根据题意， 的图象关于坐标原点对称，即 是奇函数，则有 ，
又由对任意的 ， 恒成立，即 恒成立，
则有 对任意的 都成立，
故 是周期为 4的周期函数，则 （1） ，
当 时， ，则 ，
则 （1）
4．（2021• 福田区校级二模）已知函数 ， ，若总存在直线与函数
， 图象均相切，则 的取值范围是　 　．
【答案】 ，
【详解】设 与 的图象在交点处存在切线 ，且切点为 ，
由 ， ，
可得 ， ，
化为 ， ，则 ，
即 ，
设 ， ，可得 在 递增，
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