《备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）》专题06 填空中档题（解析版）

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专题 06 填空中档题

1．（2021•深圳一模）冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模

型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：

（当时，表示 2020 年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足

2020 年初种群数量的一半，则的最小值为　　．

【答案】6

【详解】因为，

所以当时，，

当时，，

因为年后，该物种的种群数量将不足 2020 年初种群数量的一半，

所以，

即，

两边同取对数得，，即，

两边取对数得，，

即，而，

所以的最小值为 6．

2．（2021•湛江一模）若某商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对

应数据：

2 4 5 6 8

20 40 60 70 80

根据如表，利用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此预测，当投入 10 万元时，销

售额的估计值为　　万元．

【答案】106.5

【详解】，，

样本中心为，

将其代入回归直线方程中，有，解得，

回归直线方程为，

当时，，

当投入 10 万元时，销售额的估计值为 106.5 万元．

3．（2021•广东一模）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若

，则　　，为坐标原点）的面积为　　．

【答案】，

【详解】由抛物线的方程可得焦点的坐标，，准线方程为，

设，，，，由题意设直线的方程：，

联立，整理可得：，

可得，，

所以，，

，所以，

，

4．（2021•惠州一模）设为常数，若的展开式中所有项的系数和为 1024，则　　．

【答案】3或

【详解】令代入二项式可得：，

所以，则或，

5．（2021•深圳模拟）若在母线长为 5，高为 4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为　　．

【答案】

【详解】如图，

圆锥的母线长为 5，高为 4，则底面半径为 3，

要使圆锥剩余部分的体积最小，则球的体积最大，即球内切圆锥的底面与侧面，

连接，则，

，即，解得．

球的最大体积为，

又圆锥的体积为，可得剩余部分体积的最小值为．

6．（ 2021• 广东二模）已知中，，，，点在直线上，且满足

，则　　．

【答案】

【详解】，

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