《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题18 高中常见数学方法（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 18 4 599.35KB 8 页 3知币

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专题 18 高中常见数学方法

专题点拨

当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，

只有在对数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法．高中试题十分重视

对于数学方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学方法

我们要有意识地应用数学方法去分析问题，解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己

具有数学头脑和眼光．

为帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的方法，本讲对数学中常见的方法加以总结

与介绍．高中数学常见的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、代入法、反证法、

综合法与分析法、构造法等．

例题剖析

1. 配方法

【例 1】函数的单调递增区间是________．

【答案】　[，3)　

【解析】　通过配方法将函数进行变形，利用定义域和对数函数及复合函数的单调性

求解函数的值域．

令f(x)＝－2x2＋5x＋3＝－2(x－)2＋，得到对称轴 x＝，又－2x2＋5x＋3>0，解得－＜x

＜3，即函数 y的定义域为(－，3)，结合对数函数及复合函数的单调性求解．易得出函数 y

的单调递增区间是[，3)．

2. 换元法

【例 2】函数的最大值是．

【答案】

【解答】

解：令，则，

所以转化为

，

当时，有最大值．

故答案为．

3.待定系数法

【例 3】若复数满足，则 ．

【答案】

【解答】

解：设，则，

则由得，

即，

则，得，

则，

故答案为：．

4.反证法

【例 4】已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数 y＝x2＋1的图

像上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足 b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.

【解析】　(1)由已知得 an＋1＝an＋1，则 an＋1－an＝1，又 a1＝1，所以数列{an}是以 1

为首项，1为公差的等差数列．故 an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)证明：由(1)知，an＝n，从而 bn＋1－bn＝2n.　bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－

b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.若bn·bn＋2≥b，则 bn·bn＋2－b≥0，即(2n－1)(2n＋2－

1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n≥0，明显不成立，所以 bn·bn

＋2<b.

5.构造法

【例 5】函数，在区间上的最大值为，最

小值为，则 ．

【答案】

【解答】

解：设，

，

则是奇函数，

在区间上的最大值为，

即，

在区间上的最小值为，

即，

是奇函数，

，

则，

故答案为：．

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