《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题17 等价转化思想（原卷版）

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专题 17 等价转化思想

专题点拨

1.等价转化思想的原则：

① 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，

以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．

② 简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，

通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题

的目的．

③ 具体原则：转化方向应由抽象到具体．

④ 和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示

的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维

规律．

⑤ 正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，或问题的正面

较复杂时，其反面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．

2.等价转化思想常用到的方法：

① 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

② 换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、

方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

③ 数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换

获得转化途径．

④ 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

⑤ 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．

⑥ 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．

⑦ 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问

题．

⑧ 等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．

⑨ 加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题

的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证

明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从

而易证．

⑩ 补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合 A，而包含问题的整

体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U及补集∁UA使原问题得以解决．

例题剖析

【例 1 】已知函数

( ) ( )f x x px q x R q     ，常数、是实数

，求证

| ( 1) | | (1) | | (2) |f f f、、

中至少有一个数不小于

．

【变式训练 1】若关于的不等式的解集是非空集合，求

实数的取值范围．

【例 2】已知 f(x)为定义在实数集 R上的奇函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．

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