《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题17 等价转化思想（解析版）

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专题 17 等价转化思想
专题点拨
1.等价转化思想的原则：
① 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，
以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
② 简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，
通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题
的目的．
③ 具体原则：转化方向应由抽象到具体．
④ 和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示
的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维
规律．
⑤ 正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，或问题的正面
较复杂时，其反面一般是简单的，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．
2.等价转化思想常用到的方法：
① 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
② 换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、
方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
③ 数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换
获得转化途径．
④ 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
⑤ 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．
⑥ 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．
⑦ 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问
题．
⑧ 等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．
⑨ 加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题
的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证
明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从
而易证．
⑩ 补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合 A，而包含问题的整
体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U及补集∁UA使原问题得以解决．
例题剖析
【 例 1 】 已 知 函 数
2
( ) ( )f x x px q x R q  ，常数、 是实数
， 求 证
| ( 1) | | (1) | | (2) |f f f、 、
中至少有一个数不小于
1
2
．
【解析】假设
| ( 1) | | (1) | | (2) |f f f、 、
均小于
1
2
，则
　　　
1 1
1 (1)
2 2
1 1
1 (2)
2 2
1 1
4 2 (3)
2 2
p q
p q
p q
 
   
 
．由(1)+(2)化简，得
1 3
2 2
q 
．(4)
由(1)×2+(2)化简，得
3 5
2 2
q 
．(5)
结合(4)和(5)可知，这是一个矛盾．因此，假设不成立，即
| ( 1) | | (1) | | (2) |f f f、 、
中
至少有一个数不小于
1
2
．
【变式训练 1】若关于 的不等式 的解集是非空集合，求
实数 的取值范围．
【解析】若 的解集为空集，则 解得
.
于是，满足条件的 的取值范围是 或 .
【例 2】已知 f(x)为定义在实数集 R上的奇函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
当0≤θ≤时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞f(0)对所有的
θ∈[0，]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数 m；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在适合条件的 m，由 f(x)是R上的奇函数可得 f(0)＝0.
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．
由题设条件可得 f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞0.
又由f(x)为奇函数，可得 f(cos2θ－3)＞f(2mcosθ－4m)．
∵f(x)是R上的增函数，∴cos2θ－3＞2mcosθ－4m，即 cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0.
令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1，
于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式 t2－mt＋2m－2＞0恒成立．
∴t2－2＞m(t－2)，即 m＞恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，当且仅当t＝2－时，等号成立，
∴m＞4－2.
∴存在实数 m满足题设的条件，m＞4－2.
【例 3】 已知函数
对任意的
x R
，恒有
2x b
( )f x
.
(1)证明：当
0x
时，
2
( ) ( )f x x c 
；
(2)若对满足题设条件的任意 ，不等式
2 2
( ) ( ) ( )f c f b M c b 
恒成立，求实
数 的最小值.
【解析】证明(1)由恒成立，则 .于是，
.
当 时， .
.若 ，则 .
若 ，则 是单调增加的函数，且 ，即 .
综上，有 即 成立.
(2)若 ，则 .
若 ， .此时 ，则 .时，
.又，即 .故.
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