《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题16 分类讨论思想（解析版）

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专题 16 分类讨论思想

专题点拨

(1)分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过

对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．

分类讨论思想的特点是：

① 分类讨论思想具有明显的逻辑特点；

② 分类讨论问题一般覆盖的知识点较多，有利于考查知识掌握的熟练程度和解决问题

的能力；

③ 解答分类讨论问题需要一定的分析技巧和分析问题的能力；

④ 分类讨论思想在生活、工作实践中应用广泛，与高等数学紧密相关．

(2)与分类讨论有关的知识点是：

① 由数学概念引起的分类讨论：

a．绝对值的意义：|a|分a≥0 和a＜0两种情况讨论可以去掉绝对值号；

b．直线的斜率：分为存在和不存在两种情形；

c．指数函数与对数函数的底数 a分为 0＜a＜1和a＞1两种情形；

d．多项式 ax2＋bx＋c分为 a≠0(二次函数)和a＝0(不是二次函数)两种情形；

e．三角函数：按角所在的不同的区域进行分类，如按象限分类；

f．平面向量的有关概念，如共线分为同向和反向；

g．等比数列的公比 q：例如 q分为 q＝1和q≠1.

② 由数学运算引起的讨论：

a．分母不为 0；

b．开偶次方根时，被开方式为非负值；

c．不等式性质：两边乘以或除以一个正数或一个负数的不同；

d．各类函数的定义域，如正切函数的定义域．

③ 由函数、方程的性质、定理、公式的限制引起的讨论：如二次函数的对称轴与区间

的位置关系不同，则函数的单调性不同，直线方程的不同形式的要求不同，如点斜式方程

的直线的斜率必须是存在的，截距式方程的直线不能与坐标轴平行；等比数列的前 n项和

公式．

④ 由图形的不确定性引起的分类讨论．

⑤ 由参数的变化引起的分类讨论．

⑥ 由排列组合引起的分类讨论．

(3)分类的原则：

① 分类的对象确定，标准统一；

② 不重复，不遗漏，即对分类对象分类后交集为空集，并集为全集；

③ 分层次，不越级讨论．

(4)分类讨论思想所解决的问题类型：

① 问题中的变量或含有的参数需要进行分类讨论；

② 问题中的条件和结论不唯一确定，而是有多种可能，要按出现的情况一一分类加以

讨论；

③ 由变形引起的讨论，或解题过程遇到无法统一叙述的情形，必须分类讨论；

④ 有关几何问题中，几何元素(如点、线段、直线、平面、几何体等)的形状、位置的

不确定引起讨论．

(5)分类讨论的一般流程：

↓

例题剖析

一、由数学概念引起的分类讨论

【例 1】　已知集合 A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m＝________.

【答案】　0或3　

【解析】因为 A∪B＝A，所以 B⊆A，所以 m＝3或m＝.若m＝3，则 A＝{1，3，}，B

＝{1，3}，满足 A∪B＝A.若m＝，解得 m＝0或m＝1.若m＝0，则 A＝{1，3，0}，B＝

{1，0}，满足 A∪B＝A，若 m＝1，则 A＝{1，3，1}，B＝{1，1}显然不成立，综上 m＝0

或m＝3.

【例 2】已知函数

)( mx

xf 





有四个不同零点，求实数 m的取值范围.

【解析】化简可得 .于是，为一个零点.

由，可通过画出函数与的图像，可知，

，若有相等实数根，则 .

结合图形可知，此时时方程有三个实数根.

所以，时函数有四个零点.

二、由数学运算引起的分类讨论

【例 3】　已知 m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较 f(a)与f(b)的大小．

【解析】　由题意，f(a)－f(b)＝－＝.

∵a＞b＞1，

∴a－1＞0，b－1＞0，b－a＜0，

∴当m＞0时，＜0，

∴f(a)＜f(b)；

当m＝0时，＝0，

∴f(a)＝f(b)；

当m＜0时，＞0，

∴f(a)＞f(b)．

三、由公式、性质、定理等引起的分类讨论

【例 4】设等比数列{an}的公比为 q，前 n项和 Sn＞0(n＝1，2，3…)．

(1)求q的取值范围；

(2)设bn＝an＋2－an＋1，{bn}的前 n项和为 Tn，试比较 Sn与Tn的大小．

【解析】　(1)因为{an}是等比数列，Sn＞0，

可得 a1＝S1＞0，q≠0，

当q＝1时，Sn＝na1＞0.

当q≠1时，Sn＝＞0，

即＞0(n＝1，2，…)，

则有①或②

由①得∵n可为奇数，可为偶数，

∴－1＜q＜1，由②得 q＞1.

故q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．

(2)由bn＝an＋2－an＋1＝an，

∴Tn＝Sn，于是 Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)，又Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0，则当－1＜q＜－

或q＞2时，Tn－Sn＞0，即 Tn＞Sn，

当－＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即 Tn＜Sn.

当q＝－或q＝2时，Tn－Sn＝0，即 Tn＝Sn.

四、由参数变化引起的分类讨论

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