《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题14 函数与方程思想（原卷版）

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专题 14 函数与方程思想

专题点拨

函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是

中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，

是历年高考的重点和热点．

函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析

和解决问题．

方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观

点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．

函数和方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0时，就转化为方程 f(x)＝0，也可

以把函数式 y＝f(x)看作二元方程 y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程

问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝

f(x)的零点．

(1)函数的零点与方程根的关系

根据函数零点的定义可知：函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝0的实数根．因此判断一个

函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程 f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．

(2)数列的通项或前 n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分

重要．

(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方

程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表

达式的方法加以解决．

例题剖析

一、函数与方程思想在求函数零点中的应用

【例 1】已知函数，且在上单调递减，

且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是

A. B. C. D.

【变式训练 1】若定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[－1,1]时，

f(x)＝x2，函数

g(x)=¿

{

2xx≤1¿¿¿¿

，则函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内

的零点的个数为 .

二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用

【例 2】已知 a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求 a的取值范围．

【变式训练 2】已知 a、b是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，求 ab 的取值范围．

【例 3】已知二次函数（ R， 0）．

(1)当０＜＜时，（Ｒ）的最大值为，求的最小值；

(2)如果 [0，1]时，总有| | ．试求的取值范围．

【变式训练 3】已知函数 f(x)＝2cos2x＋cosx－1，g(x)＝cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3.若y＝

f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．试求 a的取值范围．

三、函数与方程思想在数列、解析几何、立体几何中的应用

【例 4】设首项为正数的等差数列的前项和为公差为，若

(1)求公差的取值范围；

(2)若，求满足的正整数的最大值.

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