《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题14 函数与方程思想（解析版）

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专题 14 函数与方程思想
专题点拨
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是
中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，
是历年高考的重点和热点．
函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析
和解决问题．
方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观
点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．
函数和方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0时，就转化为方程 f(x)＝0，也可
以把函数式 y＝f(x)看作二元方程 y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程
问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝
f(x)的零点．
(1)函数的零点与方程根的关系
根据函数零点的定义可知：函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝0的实数根．因此判断一个
函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程 f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．
(2)数列的通项或前 n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分
重要．
(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方
程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表
达式的方法加以解决．
例题剖析
一、函数与方程思想在求函数零点中的应用
【例 1】已知函数 ，且 在 上单调递减，
且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】
【解答】
解：函数 在 上单调递减，
则：
解得 ；
在同一直角坐标系中，画出函数 和函数 的图象，如下图：
由图象可知，在 上， 有且仅有一个解，
故在 上， 有且仅有一个解，
当 即 时，联立 ，
即 ， ，
则 ，
解得 或 舍去 ，
当 时，方程可化为 ， 符合题意；
当 即 时，由图象可知，符合条件，
综上： 的取值范围为 ，
故选： ．
【变式训练 1】 若定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[－1,1]时，
f(x)＝x2，函数
g(x)=¿
{
2xx≤1¿¿¿¿
，则函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内
的零点的个数为 .
【答案】8
【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又 x [∈－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如
图所示，在同一坐标系中作出函数 g(x)的图像，可见 y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个
交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有 3个交点，∴共有 8个交点．
二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用
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