《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题13 创新型问题（原卷版）

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专题 13 创新型问题

专题点拨

1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验

解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题.

不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间

的联系，运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的

研究目标．

2．创新型数学问题常见的问题类型：

(1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题；

(2)归纳猜想型问题：通过归纳--猜想---证明实现从特殊到一般的推理论证；

(3)新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学

习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；

存在判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数

学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立；

(4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一

步推广．

总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直

觉思维、演绎推理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问

题．

例题剖析

【例 1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：

x1，x2，…，x5为递增数列，且

xi∈N∗

（i＝1，2，…，5）；数列乙：

y1，y2，y3，y4，y5满足 yi∈{ 1﹣，1}（i＝1，2，…，5）

则在甲、乙的所有内积中（　　）

A．当且仅当 x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9时，存在 16 个不同的整数，它们同为

奇数

B．当且仅当 x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10 时，存在 16 个不同的整数，它们同

为偶数

C．不存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

D．存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

【例 2】已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是

20，接下来的两项是 20、21，再接下来的三项是 20、21、22，以此类推，若 N＞100 且该

数列的前 N项和为 2的整数幂，则 N的最小值为（　　）

A．440 B．330 C．220 D．110

【例 3】（2021 秋•宝山区期末）设，，定义运算“△”和“ ”如下：

，．若正数，，，满足，，则

A．△， △ B．，

C． △ ， D．， △

【例 4】和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条

件的动点的轨迹，在空间直角坐标系 O﹣xyz 中，空间平面和曲面的方程是一个三元方

程F（x，y，z）＝0．

（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点 P（x0，y0，z0），法向量为

→

=( A，B，C)

的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z轴上的截距

分别为 a，b，c的平面的截距式方程（不需要证明）；

（2）设 F1，F2为空间中的两个定点，|F1F2|＝2C，我们将曲面 Γ定义为满足|PF1|+|PF2|＝

2a（a＞c）的动点 P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系 O﹣xyz，求曲面 Γ的方

程；

（3）对（2）中的曲面 Γ，指出和证明曲面 C的对称性，并画出曲面 Γ的直观图．

【例 5】设f（x）是定义在 D上的函数，若对任何实数 α∈（0，1）以及 D中的任意两数

x1、x2，恒有 f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称 f（x）为定义在 D

上的 C函数．

（1）证明函数

f1(x)=x2

是定义域上的 C函数；

（2）判断函数

f2(x)= 1

x(x＜0)

是否为定义域上的 C函数，请说明理由；

（3）若 f（x）是定义域为 R的函数，且最小正周期为 T，试证明 f（x）不是 R上的 C函数．

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