《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题12 高考常见应用题（原卷版）

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专题 12 高考常见应用题

专题点拨

求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题，

除了掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养．

1．阅读理解能力．首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；

其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性．

2．数学的迁移能力．即建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出解决问题的数或形，

并判断用哪些数学知识予以解决，将之转化为纯数学问题．

3．解决纯数学问题的能力．能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整

解答所建立的数学模型．

4．常识能力．平时应关注生活中的点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、

判断、修正，得到符合实际的解答．

5．表达能力．解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿，

论证有力，有始有终，能自圆其说．特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的

互补，使语句流畅、自然而清晰．

解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能

力的培养与提高．解答应用题一般分为四个步骤：

1．阅读理解：分析背景材料，分清条件结论，把握数量关系；

2．建立模型：联想数学问题，运用数学语言，建立数学模型；

3．求解模型：运用思想方法，使用知识技能，求得数学结果；

4．还原实际：审视实际问题，验证运算结果，表述最后结论．

简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答．

例题剖析

一、函数型应用性问题

【例 1】（2021•黄浦区校级三模）“弗格指数 ”是用来衡量地区内居民收益

差距的一个经济指标，其中是该地区的最低保障收入系数，是该地区收入中位系数，

是该地区收入均值系数，经换算后，、、都是大于 1的实数，当时，该地

区收入均衡性最为稳定．

（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，

经测算，某地区的“弗格指数”为 0.89，收入均值系数为 3.15，收入中位系数为 2.17，则

该地区的最低保障收入系数为多少（精确到？

（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用、表

示）．

二、三角函数型应用性问题

【例 2】（2021•浦东新区校级三模）某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由

两节圆管组成，且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图 1所示（单位：

，将其中一个斜截园柱的侧面沿剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线

是函数的图象，其中，，如图 2所

示．

（1）若，，，求的解析式；

（2）已知函数的图象与轴围成区域的面积可由公式计算，若制作该

种类弯管的一节圆管所用材料面积（即斜截圆柱的侧面积）等于与之底面相同且高为

的圆柱的面积，求的值（结果精确到．

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