《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题11 直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）

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专题 11 直线与圆锥曲线的位置关系
专题点拨
1．弦长公式：斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |
AB|＝ =·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
2. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.
涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．
3.在直线与圆锥曲线的问题中，若直线的斜率不存在且符合题意时，则需要优先考虑斜率
不存在的情况．既克服遗漏，又可获得一般性解答的启示.
4.涉及存在性问题:一方面，要结合轨迹定义和曲线性质讨论；另一方面，还要结合问题情
境具体分析，并加以推理论证.
真题赏析
(2018·上海)设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l：x=t，曲
线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点 A、与 Γ交于点 B．P、Q分别是曲线 Γ与线
段AB 上的动点．
（1）用 t表示点 B到点 F的距离；
（2）设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在Γ上？若存在，求点 P
的坐标；若不存在，说明理由．
例题剖析
【例 1】（2021•浦东新区校级三模）已知椭圆
2 2
: 1
4 2
x y
C 
，过动点
(0M
，
)( 0)m m
的
直线
l
交
x
轴于点
N
，交
于点
、
(P P
在第一象限），且
M
是线段
PN
的中点，过点
作
x
轴的垂线交
于另一点
，延长
QM
交
于点
．
（1）求椭圆
的焦距和短轴长；
（2）设直线
PM
的斜率为
k
，
QM
的斜率为
k
，证明：
k
k
为定值；
（3）求直线
AB
倾斜角的最小值．
【例 2】（2021•嘉定区三模）在直角坐标系
xOy
中，直线
2y x
是双曲线
2 2
2 2
: 1
x y
Ca b
 
的
一条渐近线，点
(1,0)A
在双曲线
上，设
(M m
，
)( 0)n n
为双曲线上的动点，直线
AM
与
y
轴相交于点
，点
M
关于
y
轴的对称点为
N
，直线
AN
与
y
轴相交于点
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）在
x
轴上是否存在一点
T
？使得
| | | |TP TQ PQ 
                           
，若存在，求
T
点的坐标；若不存在，
说明理由；
（3）求
M
点的坐标，使得
MPQ
的面积最小．
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