《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题11 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 4 4 1.07MB 25 页 3知币
侵权投诉
专题 11 直线与圆锥曲线的位置关系
专题点拨
1．弦长公式：斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |
AB|＝ =·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
2. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.
涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．
3.在直线与圆锥曲线的问题中，若直线的斜率不存在且符合题意时，则需要优先考虑斜率
不存在的情况．既克服遗漏，又可获得一般性解答的启示.
4.涉及存在性问题:一方面，要结合轨迹定义和曲线性质讨论；另一方面，还要结合问题情
境具体分析，并加以推理论证.
真题赏析
(2018·上海)设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l：x=t，曲
线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点 A、与 Γ交于点 B．P、Q分别是曲线 Γ与线
段AB 上的动点．
（1）用 t表示点 B到点 F的距离；
（2）设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在Γ上？若存在，求点 P
的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）方法一：由题意可知：设 B（t，2 t），
则|BF|= =t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设 B（t，2 t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|=，∴Q（3， ），设 OQ 的中点 D，
D（ ， ），
kQF= =﹣，则直线 PF 方程：y=﹣（x 2﹣），
联立 ，整理得：3x220x﹣+12=0，
解得：x= ，x=6（舍去），
∴△AQP 的面积 S= × × =；
（3）存在，设 P（ ，y），E（ ，m），则 kPF= = ，kFQ=，
直线 QF 方程为 y= （x 2﹣），∴yQ=（8 2﹣）=
，Q（8， ），
根据 + =，则 E（ +6， ），
∴（ ）2=8（ +6），解得：y2=，
∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在Γ上，且 P（ ， ）．
例题剖析
【例 1】（2021•浦东新区校级三模）已知椭圆
2 2
: 1
4 2
x y
C 
，过动点
(0M
，
)( 0)m m
的
直线
l
交
x
轴于点
，交
C
于点
A
、
(P P
在第一象限），且
M
是线段
PN
的中点，过点
P
作
x
轴的垂线交
C
于另一点
Q
，延长
QM
交
C
于点
B
．
（1）求椭圆
C
的焦距和短轴长；
（2）设直线
PM
的斜率为
k
，
QM
的斜率为
k
，证明：
k
k
为定值；
（3）求直线
AB
倾斜角的最小值．
【分析】（1）利用椭圆
C
的标准方程可得
a
，
b
，
c
，即可推出椭圆
C
的焦距，短轴长．
（2）设
0
(P x
，
0 0
)( 0y x
，
0
0)y
，由
(0M
，
)( 0)m m
可得
0
(P x
，
2 )m
，
0
(Q x
，
2 )m
，
求出直线
PM
的斜率，
QM
的斜率，推出
k
k
为定值．
（3） 设
1
(A x
，
1)y
，
2
(B x
，
2
)y
． 直 线
PA
的 方 程 为
y kx m 
直 线
QB
的 方 程 为
3y kx m 
，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解
AB
坐标，然后求解
AB
的
斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线
AB
倾斜角的最小值．
【解答】解：（1）因为椭圆
C
的标准方程为
2 2
1
4 2
x y
 
，可得
2, 2, 2a b c 
，
所以椭圆
C
的焦距为
2 2
，短轴长为
2 2
．
《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题11 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）.docx

共25页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：25 页 大小：1.07MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 25
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注