《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题10 圆锥曲线的性质及其应用（原卷版）

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专题 10 圆锥曲线的性质及其应用
专题点拨
1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线
的轨迹定义来解决问题.
2．弦长公式：斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |
AB|＝ =·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.
涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．
真题赏析
1．(2018·上海)双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为　 　．
2． (2017·上海)设双曲线－＝1(b>0)的焦点为 F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝
5，则|PF2|＝__________．
例题剖析
【例 1】（2021•嘉定区三模）设椭圆 ，直线 过 的左顶点 交 轴于
点 ，交 于点 ，若 为等腰三角形 为坐标原点），且 是 的中点，则 的
长轴长等于　　．
【变式训练 1】 设 P是椭圆 + =1 上的动点，则 P到该椭圆的两个焦点的距离之和
为（ ）
A. B.2 C.2 D.4
【例 2】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与
双曲线的右支分别交于 ， 两点，△ 的内切圆半径为 ，△ 的内切圆半
径为 ，若 ，则直线 的斜率为　　．
【变式训练 2】（2021•普陀区二模）设 ，则双曲线 的焦点坐标
是 　　
A．B．C．D．
【例 3】（2021•黄浦区校级三模）已知抛物线 、 的焦点都为 ， 的准线方
程为 ， 的准线方程为 ， 与 相交于 、 两点，则直线 的方
程为 　　
A．B．C．D．
【变式训练 3】已知抛物线 的焦点为 ，该抛物线上点 的横坐标为 2，则
．
【例 4】（2021•宝山区校级模拟）已知椭圆
2 2
: 1
4 3
x y
C 
，直线
l
过右焦点
F
与椭圆交于
A
、
B
两点，
PQR
的三个顶点均在椭圆上，且
O
为坐标原点．
（1）小明在计算
OAB
的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其
中的一处错误之处，并说明原因；
解 答 ： 设
，
(2cos , 3 sin )B
 
， 则
2cos 3 sin 1
12cos 3 sin 1 3 | sin( ) | 3
20 0 1
AOB
S
 
 
„
，所以
OAB
的面积的最大值为
3
．
（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问
题，求证：当
PQR
的重心为原点
O
时，
PQR
的面积是定值．
巩固训练
一、填空题
1.（2021•浦东新区校级三模）已知 、 ，设 是椭圆 与双曲线
的交点之一，则 　 　．
2.（2021•青浦区二模）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为 ， ．直线
与该双曲线交于 ， 两点， 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
．
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