《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题09 向量的性质及其应用（原卷版）

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专题 09 向量的性质及其应用
专题点拨
1． 能灵活运用两个重要结论解决问题：
(1) (D 是 BC 中点).
(2)已知点 不共线，且 ，则点
共线的充要条件是 .
2．运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则.
3．会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题.
4．能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解.
真题赏析
（2021•上海）在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，
使得 ；②存在 ，使得 ；它们的成立情况是 　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
例题剖析
【例 1】在边长为 1的正六边形 中，记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别
为 ， ， ， ， ，若 与 的夹角记为 ，其中 ， ，2，3，4， ，
且 ，则 的最大值为　　．
【变式训练 1】（2021•浦东新区校级三模）已知边长为 2的正方形 边上有两点 、
，满足 ，设 是正方形的中心，则 的取值范围是　 　．
【例 2】已知平面向量 、 满足条件： ， ， ， ，若
向量 ．且 ，则 的最小值为　　．
【变式训练 2】已知向量 ， ，且 ，若向量 满足
，则 的最大值为　　．
【 例 3】 已 知 圆 心 为
O
、 半 径 为 的 圆 上 有 三 点
A
、
B
、
C
，
，则 ．
【 变 式 训 练 3】 已 知 圆 心 为
O
、 半 径 为
1
的 圆 上 有 三 点
、
B
、
C
． 若
7
⃗
OA +5
⃗
OB+8
⃗
OC =
⃗
0
，则
|
⃗
BC|=
______________．
巩固训练
一、填空题
1.（2021•金山区二模）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，其
中 ，则向量 在 上的投影的取值范围为　 　．
2.（2021•浦东新区二模）已知 、 ，若曲线 上存在两个不同的
点 满足条件 ，则 的取值范围为　　 ．
3.已知圆 ，圆 ．直线 、 分别过圆心 、 ，且
与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相交于 ， 两点，点 是椭圆 上任意一
点，则 的最小值为　 　．
4.（2021•普陀区模拟）已知向量 ， 的夹角为锐角，且满足 、 ，若对任
意的 ， ， ， ，都有 成立，则 的最小值为
．
5. （2021• 浦 东 新 区 三 模 ） 已 知 ， 若 存 在 ， ， 使 得 与
夹角为 ，且 ，则 的最小值为　　．
6. （2021• 宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形 满足：
，则当 的面积是 的面积的 倍时，
的最大值为 　　 ．
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