《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题09 向量的性质及其应用（解析版）
专题 09 向量的性质及其应用
专题点拨
1． 能灵活运用两个重要结论解决问题：
(1) (D 是 BC 中点).
(2)已知点 不共线，且 ，则点
共线的充要条件是 .
2．运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则.
3．会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题.
4．能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解.
真题赏析
（2021•上海）在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，
使得 ；②存在 ，使得 ；它们的成立情况是
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】设 ， ， ， ， ，由向量数量的坐标运算即可
判断①； 为 中点，可得 ，由 为 中点，可得 与 的交点
即为重心 ，从而可判断②
【解答】解：不妨设 ， ， ， ， ，
①， ，
若 ，则 ，即 ，
满足条件的 存在，例如 ，满足上式，所以①成立；
②为 中点， ， 与 的交点即为重心 ，
因为 为 的三等分点， 为 中点，
所以 与 不共线，即②不成立．
故选： ．
例题剖析
【例 1】在边长为 1的正六边形 中，记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别
为 ， ， ， ， ，若 与 的夹角记为 ，其中 ， ，2，3，4， ，
且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由向量的投影的几何意义有：
的几何意义为向量 在向量 方向上的投影，由图可知： 在向量 方向上
的投影最大，且为 ，
故答案为： ．
【变式训练 1】（2021•浦东新区校级三模）已知边长为 2的正方形 边上有两点 、
，满足 ，设 是正方形的中心，则 的取值范围是 ．
【分析】本题可采用数形结合法进行求解，具体过程详见解析．
【解答】解：根据题意，以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，则有
，
又由余弦定理可得， ，
所以
所以 ．
①当点 ， 为正方形对角顶点时， ，此时 ，
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