《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题08 数学归纳法与极限（原卷版）

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专题 08 数学归纳法与极限

专题点拨

1．数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当 n取第一个值 n0时命题成立，然后假设当 n＝

k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并利用假设证明当 n＝k＋1时命题也成立，这两步缺一不可，

要完整地书写．

用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，

整除性和平面几何问题等．

2．数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列{an}和{bn}的极限存在的条件下，才有

四则运算，且数列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项．

数列的三个基本极限：limc＝c，lim ＝0，limqn＝0(|q|＜1)，它们是极限运算的基础，但

是要区别，如果 q是收敛的等比数列的公比时，0＜|q|＜1.

计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点．

无穷等比数列各项和的公式 S＝，可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时

关键是找出等比数列的首项和公比，然后代入公式计算．

真题赏析

1．(2016·上海)已知无穷等比数列的公比为 q，前 n项和为 Sn，且 Sn＝S.下列条件中，

使得 2Sn<S(n∈N*)恒成立的是 ( )

A．a1>0, 0.6<q<0.7

B．a1<0, －0.7<q<－0.6

C．a1>0, 0.7<q<0.8

D．a1<0, －0.8<q<－0.7

2．(2016·上海)对于无穷数列{an}与{bn}，记 A＝{x|x＝an，n∈N*}，

B＝{x|x＝bn，d∈N*，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；② A∩B＝

且∅A∪B＝N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．

(1)若an＝2n－1，bn＝4n－2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2)若an＝2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前 16 项的和；

(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且 a16＝36，求{an}与{bn}的通项公式．

例题剖析

【例 1】已知数列满足：，且，

，若，则　　．

【例 2】（2021•黄浦区校级三模）已知数列是公比不等于 1的正项等比数列，

，则　　．

【例 3】观察下列式子：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

…

根据上述规律，第 n个不等式应该为________．

【变式训练】数列{2n－1}的前 n项1，3，7，…，2n－1组成集合 An＝(n∈N*)，从集合 An

中任取 k(k＝1，2，3，…，n)个数，其所有可能的 k个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数，

规定乘积为此数本身)，记 Sn＝T1＋T2＋…＋Tn，例如当 n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；

当n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7，试写出 Sn＝________．

【例 4】已知 n为正整数，试比较 n2与2n的大小．

【变式训练】已知 fn(x)＝(1＋)n，n∈N*.

(1)若g(x)＝f4(x)＋2f5(x)＋3f6(x)，求 g(x)中含 x2项的系数；

(2)若Pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各项都大于 1的数组成的数

列，且 a1a2…an(an＋1－1)＝an＋1＋1，试用数学归纳法证明：Pn(a1a2…an＋1)＝(1＋a1)(1＋a2)

…(1＋an)．

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