《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题08 数学归纳法与极限（解析版）

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专题 08 数学归纳法与极限

专题点拨

1．数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当 n取第一个值 n0时命题成立，然后假设当 n＝

k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并利用假设证明当 n＝k＋1时命题也成立，这两步缺一不可，

要完整地书写．

用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，

整除性和平面几何问题等．

2．数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列{an}和{bn}的极限存在的条件下，才有

四则运算，且数列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项．

数列的三个基本极限：limc＝c，lim ＝0，limqn＝0(|q|＜1)，它们是极限运算的基础，但

是要区别，如果 q是收敛的等比数列的公比时，0＜|q|＜1.

计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点．

无穷等比数列各项和的公式 S＝，可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时

关键是找出等比数列的首项和公比，然后代入公式计算．

真题赏析

1．(2016·上海)已知无穷等比数列的公比为 q，前 n项和为 Sn，且 Sn＝S.下列条件中，

使得 2Sn<S(n∈N*)恒成立的是 ( )

A．a1>0, 0.6<q<0.7

B．a1<0, －0.7<q<－0.6

C．a1>0, 0.7<q<0.8

D．a1<0, －0.8<q<－0.7

【答案】B

【解析】由题意得：Sn＝a1·，所以

Sn＝＝S(0<|q|<1)，所以 2a1·<a1·(0<|q|<1)对一切正整数恒成立，当 a1>0 时，qn>不恒成

立，舍去；当 a1<0 时，qn<，故选 B.

2．(2016·上海)对于无穷数列{an}与{bn}，记 A＝{x|x＝an，n∈N*}，

B＝{x|x＝bn，d∈N*，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；② A∩B＝

且∅A∪B＝N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．

(1)若an＝2n－1，bn＝4n－2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2)若an＝2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前 16 项的和；

(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且 a16＝36，求{an}与{bn}的通项公式．

【解析】(1)因为 4∉A，4∉B，所以 4∉A∪B，从而与不是无穷互补数列．

　(2)因为 a4＝16，所以 b16＝16＋4＝20，

　数列的前 16 项和为：－＝×20－＝180.

　(3)设的公差为 d，d∈N*，则 a16＝a1＋15d＝36.

　由 a1＝36－15d≥1，得 d＝1或2.

　若 d＝1，则 a1＝21，an＝n＋20，与“{an}与{bn}是无穷互补数列”矛盾；

　若 d＝2，则 a1＝6，an＝2n＋4，bn＝

　综上，an＝2n＋4，bn＝

例题剖析

【例 1】已知数列满足：，且，

，若，则　　．

【答案】1009

【解析】，，，

，时，，

，对于上式两边取极限可得：，

化为：，解得．

故答案为： 1009 ．

【例 2】（2021•黄浦区校级三模）已知数列是公比不等于 1的正项等比数列，

，则　　．

【分析】由已知结合等比数列的性质及对数的运算性质，即可求解．

【解答】解：因为数列是公比不等于 1的正项等比数列，，

所以，所以，

所以，，

则．

故答案为：．

【例 3】观察下列式子：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

…

根据上述规律，第 n个不等式应该为________．

【答案】　1＋＋…＋<.

【解析】根据上面例子的观察比较后得到 1＋＋…＋<.

【变式训练】数列{2n－1}的前 n项1，3，7，…，2n－1组成集合 An＝(n∈N*)，从集合 An

中任取 k(k＝1，2，3，…，n)个数，其所有可能的 k个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数，

规定乘积为此数本身)，记 Sn＝T1＋T2＋…＋Tn，例如当 n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；

当n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7，试写出 Sn＝________．

【答案】

【解析】　当 n＝3时，A3＝{1，3，7}，

　则 T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，

　∴S3＝T1＋T2＋T3＝11＋31＋21＝63，由 S1＝1＝21－1＝2－1，

　S2＝7＝23－1＝2－1，S3＝63＝26－1＝2－1，

　…

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