《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题07 数列的综合（二）（解析版）

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专题 07 数列的综合（二）

专题点拨

1.设

是等差数列{

}的前

项和，则

①

，

－

，

－

，…构成的数列是等差数列；

② 也是一个等差数列；

2．设等比数列{

}的首项为

1，公比为

，当

>1，

1>0 或 0<

<1，

1<0 时，数列{

}为递

增数列；当

>1，

1<0 或 0<

<1，

1>0 时，数列{

}为递减数列；当

＝1 时，数列{

}是

(非零)常数列；当

<0 时，数列{

}是摆动数列．

3．代数变形能力是学好数列的一种关键能力.

递推公式是数列中项与项之间关系的一种内部规律，通过什么方法把内部规律转化成

＝

(

)是解题关键．

真题赏析

(2017·上海)根据预测，某地第 n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为 an和

bn(单位：辆)其中 an＝，bn＝n＋5，第 n个月底的共享单车的保有量是前 n个月的累计投放

量与累计损失量的差．

(1)求该地区第 4个月的共享单车的保有量；

(2)已知该地区共享单车停放点第 n个月底的单车容纳量 Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：

辆)设在某月底，共享单车保有量达到最大，问保有量是否超出了此时停放点的容纳量？

【解析】 (1)(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2＋b3＋b4)＝965－30＝935(辆)

(2)－10n＋470>n＋5⇒n≤42，即第 42 个月底，保有量达到最大．

　(a1＋a2＋a3＋…＋a42)－(b1＋b2＋b3＋…＋b42)＝[965＋]－＝8782(辆)．S42＝－4(42－46)2

＋8800＝8736，∴此时保有量超过了容纳量．

例题剖析

【例 1】已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn＝n－n2，求数列{|an|}的前 n项和．

【解析】解由已知 an＝Sn－Sn－1＝n－n2－(n－1)＋(n－1)2＝20－3n(n≥2)．

当n＝1时，a1＝S1＝17，满足上式．∴an＝20－3n(n≥1)，则 a6>0，a7<0.

数列{an}是递减的等差数列．

①当n≤6 时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝Sn＝n－n2；

②当n>6 时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－…－an

＝S6－(Sn－S6)＝2S6－Sn＝114－n＋n2.

∴数列{|an|}的前 n项和 Sn＝

【变式训练 1】（2021•杨浦区二模）已知数列是无穷等比数列，若，则数

列的前项和　　

A．无最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值

C．有最大值，无最小值 D．无最大值，无最小值

【分析】根据题意，由等比数列的性质可得数列所有项为负，据此可得

，即可得答案．

【解答】解：根据题意，数列是无穷等比数列，若，

则其公比，数列所有项为负，

则有，即有，

同理可得，

故数列的前项和有最大值，无最小值，

故选：．

【例 2】（2021•青浦区三模）若数列满足：对任意，只有有限个正整数，使

得成立，记这样的的个数为，则得到一悠闲的数列，例如，若数列

是1，2，3，，，，则得数列是 0，1，2，，，，已知对任意

的，，则　　

A．B．2014 C．D．2015

【分析】由题设条件能推导出，，，，于是猜

想：．由此能求出．

【解答】解：，，，，

，，，，，

，，，，，，，

，，，，

由此猜想：．

．

故选：．

【例 3】已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，

，，满足，，，若，，

在同一直线上，则　　．

【答案】2

【解析】若，，三点共线，则，根据条件“平面内三个

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