《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题06 数列的综合（一）（原卷版）

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专题 06 数列的综合（一）

专题点拨

1．①若{an}是公差为 d的等差数列，则 d>0 时，{an}是递增数列；

时，{an}是递减数列；d＝0时，{an}是常数列．

② 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n≥1)可推广为数列通项公式 an＝am＋(n－

m)d(m，n∈N*且n>m)．

③若m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，当{an}是有穷数列，则与首

末两项等距离的两项之和，等于首末两项之和．

④ 项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成

等差数列．

2．设 Sn是等差数列{an}的前 n项和，则

①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；

② 也是一个等差数列；

真题赏析

1．(2016·上海)已知数列{an}和{bn}，其中 an＝n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，

若对于任意 n∈N*，{bn}的第 an项等于{an}的第 bn项，＝__________．

2．(2016· 上海 )无穷数列由 k个不同的数组成， Sn为的前 n项和．若对任意

n∈N*，Sn{2∈，3}，则 k的最大值为__________．

3．（2017·上海）已知 Sn和Tn分别为数列与数列的前 n项和，且 a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an

＝ebn(n∈N*)，则当 Tn取得最大值时，n的值为________．

4．（2018·上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 n N∈*，都有|bna﹣n|

≤1，则称{bn}与{an}“接近”．

（1）设{an}是首项为 1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n N∈*，判断数列{bn}是否与

{an}接近，并说明理由；

（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记

集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求 M中元素的个数 m.

例题剖析

【例 1】（2021•徐汇区校级三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则

的最小值是　　．

【变式训练 1】

（2021•青浦区三模）若等差数列前项和为，，，则的通

项公式为　　．

【例 2】等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的为

A ． 25 B ． 27 C ． 25 或 26 D ． 26 或 27

【变式训练 2】

已知是数列的前项和，，，，数列是公差

为2的等差数列，则　　

．233 ．282 ．466 ．650

【例 3】在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，

记数列的前项和，求使得的最小整数；

（3）若，使不等式成立，求实数的取值范围

．

【变式训练 3】已知数列的前 n项和 Sn＝3n2＋8n，是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列的通项公式；

(2)令cn＝. 求数列的前 n项和 Tn.

【例 4】设数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q(n∈N*，p>0)，数列{bn}定义如下：对于正整数

m，bm是使得不等式 an≥m成立的所有 n中的最小值．

(1)若p＝，q＝－，求 b3；

(2)若p＝2，q＝－1，求数列{bn}的前 2m项和公式；

(3)若p＝，是否存在 q，使得 bm＝3m＋2(m∈N*)？如果存在，求 q的取值范围；如果

不存在，请说明理由．

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