《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题06 数列的综合（一）（解析版）

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专题 06 数列的综合（一）

专题点拨

1．①若{an}是公差为 d的等差数列，则 d>0 时，{an}是递增数列；

时，{an}是递减数列；d＝0时，{an}是常数列．

② 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n≥1)可推广为数列通项公式 an＝am＋(n－

m)d(m，n∈N*且n>m)．

③若m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，当{an}是有穷数列，则与首

末两项等距离的两项之和，等于首末两项之和．

④ 项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成

等差数列．

2．设 Sn是等差数列{an}的前 n项和，则

①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；

② 也是一个等差数列；

真题赏析

1．(2016·上海)已知数列{an}和{bn}，其中 an＝n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，

若对于任意 n∈N*，{bn}的第 an项等于{an}的第 bn项，＝__________．

【答案】2　

【解析】ban＝abn⇒bn2＝b⇒b1b4b9b16＝(b1b2b3b4)2⇒＝2.

2．(2016· 上海 )无穷数列由 k个不同的数组成， Sn为的前 n项和．若对任意

n∈N*，Sn{2∈，3}，则 k的最大值为__________．

【答案】4　

【解析】当 a1＝2时，数列可能为 2、0、1、－1或2、1、0、－1或2、1、－1、0；当 a1

＝3时，数列可能为 3、0、－1、1或3、－1、0、1或3、－1、1、0，所以 k的最大值为 4.

3．（2017·上海）已知 Sn和Tn分别为数列与数列的前 n项和，且 a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an

＝ebn(n∈N*)，则当 Tn取得最大值时，n的值为________．

【答案】4或5　

【解析】由 Sn＝eSn＋1－e5，得 Sn－1＝eSn－e5，两式相减，得 an＝ean＋1，所以是首项为 e4，

公比为的等比数列，所以 an＝e5－n.因为 an＝ebn，所以 bn＝lne5－n＝5－n，则由，即，解得

4≤n≤5，所以当 n＝4或n＝5时，Tn取得最大值．

4．（2018·上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 n N∈*，都有|bna﹣n|

≤1，则称{bn}与{an}“接近”．

（1）设{an}是首项为 1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n N∈*，判断数列{bn}是否与

{an}接近，并说明理由；

（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记

集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求 M中元素的个数 m.

【解析】（1）数列{bn}与{an}接近．

理由：{an}是首项为 1，公比为的等比数列，

可得 an=，bn=an+1+1= +1，则|bna﹣n|=| +1﹣|=1﹣ ＜1，n∈N*，可得数

列{bn}与{an}接近.

（2）{bn}是一个与{an}接近的数列，可得 an1≤b﹣n≤an+1.

数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，

可得 b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，

可能 b1与b2相等，b2与b3相等，但 b1与b3不相等，b4与b3不相等，

集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，M中元素的个数 m=3 或4.

例题剖析

【例 1】（2021•徐汇区校级三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则

的最小值是　　．

【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式可得，则当

取最大值时，即可得出结果．

【解答】解：设等差数列的公差为，由，得；

由于，所以，即当时，有最

小值 5．

故答案为：5．

【变式训练 1】

（2021•青浦区三模）若等差数列前项和为，，，则的通

项公式为　　．

【分析】根据等差数列的前项和公式与项的公式，列方程求出首项和公差，再写出

通项公式．

【解答】解：等差数列中，，解得，

由，解得，

所以公差，，

所以的通项公式为．

故答案为：．

【例 2】等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的为

A ． 25 B ． 27 C ． 25 或 26 D ． 26 或 27

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，，，

，，

联立解得，，

．

令，解得．

则取得最大值时的为 25 或 26 ．

故选：．

【变式训练 2】

已知是数列的前项和，，，，数列是公差

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