《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题05 三角函数图像与性质的综合应用（解析版）

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专题 05 三角函数图像与性质的综合应用

专题点拨

函数 y＝Asin(ωx＋φ)的问题；

解决 y＝Asin(ωx＋φ)的问题，通常利用整体思想换元，转化为基本函数解决，同时要

注意复合函数的性质．

①“五点法”画图：分别令 ωx＋φ＝0，、π、、2π，求出五个特殊点．

② 给出 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，求函数表达式时，比较难求的是 φ，一般从“五

点法”中取靠近 y轴的已知点代入突破．

易错点： (1) 求对称轴方程：令 ωx ＋φ＝＋ kπ(k∈Z)，求对称中心：令 ωx ＋φ＝

kπ(k∈Z)．

(2) 求单调区间：分别令－＋ 2kπ≤ωx ＋φ≤ ＋ 2kπ(k∈Z)；＋ 2kπ≤ωx ＋φ≤π＋

2kπ(k∈Z)，同时注意 A、ω符号．

真题赏析

1. （2016·上海）设 , ，若对任意实数都有，

则满足条件的有序实数组的组数为______________.

【答案】4

【解析】(i)若若，则；若，则 .

(ii)若，若，则；若，则共组.

2．（2018·上海）设常数

a R

，函数

( ) sin 2 2cosf x a x x 

．

(1)若

( )f x

为偶函数，求

的值；

(2)若

( ) 3 1



 

，求方程

( ) 1 2f x  

在区间

 

［，］

上的解．

【解析】(1)若

( )f x

为偶函数，则对任意

Rx

，均有

( ) ( ) f x f x

；

即

2 2

sin 2 2cos sin 2( ) 2 cos ( )    a x x a x x

，

化简得方程

sin 2 0a x

对任意

Rx

成立，故

0a

；

(2)

( ) sin(2 ) 2cos ( ) 1 3 1

4 4 4

  

      f a a

，所以

3a

，

故

( ) 3 sin 2 2cos f x x x

．

则方程

( ) 1 2 f x

，即

3 sin 2 2cos 1 2  x x

，

所以

3 sin 2 2cos 1 2   x x

，化简即为

2sin(2 ) 2



  x

，

即

sin(2 )

6 2



  x

，解得



  x k

或





  x k

，

,Zk k

若求该方程在

[ , ]

 



上有解，则

13 35

[ , ]

24 24

 k

，

19 29

[ , ]

24 24

 k

，

即

0k

或1；

k

或1，

对应的

的值分别为：





、



、





、



．

例题剖析

【例 1】求函数的定义域．

【解析】函数定义域满足下列不等式组：

因此，函数定义域为

【例 2】（2021•宝山区校级模拟）为了得到函数的图象，可以将函数

的图象作这样的平移变换得到　　

A．向左 B．向左 C．向右 D．向右

【分析】根据已知条件，以及三角函数两角和、两角差公式，分别得到原函数与目标函数

再结合平移变换法则，即可求解．

【解答】解：由题意可得，，

设，

，

设，

设是由平移个单位得到，

则，

，即，

当时，，

根据左加右减原则，是由向左平移个单位得到，

故选：．

【例 3】（2019·宝山区一模）已知函数，将的图像向左移

个单位得函数的图像．

（1）若，求的单调递增区间；

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