《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题04 三角比、解三角形的综合应用（解析版）

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专题 04 三角比、解三角形的综合应用
专题点拨
1．“1”的活用；切弦互化：弦的齐次式可化为切；诱导公式的使用.
2．熟悉：整体变换、把所求角表示为已知角的关系、变换的技巧、倍角与半角的相对性.
如：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝＋，是的半角.
3．在三角形内求值：已知三角形各边角关系，求值时，注意利用内角和为 、正余弦定
理进行转化，同时注意挖掘隐含条件．根据条件判断三角形形状：主要途径是把条件中的
边角关系统一成边边关系或角角关系.
真题赏析
1.(2020·上海)若 则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.
直接根据两角差的正切公式展开得到关于 的方程，求解即可.
【解答】
解：
，解得 ，
故答案为
2.在
ABC△
中，
π
4
B=
，BC 边上的高等于
1
3BC
,则
cos A=
（ ）.
A
．
3 10
10
B．
10
10
C．
D．
3 10
10
-
【答案】C
【解析】 设△ 中角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，由题意可得
，则 ．在△ 中，由余弦定理可得
，则 ．
由余弦定理，可得
，故选 C．
3.设△ABC 的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若
cos cos sinb C c B a A 
, 则△ABC 的形
状为 （ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】∵，∴由正弦定理得
2
sin cos sin cos sinB C C B A 
，
∴
2
sin( ) sinB C A 
，∴
cos cos sinb C c B a A 
2
sin sinA A
，∴
sin 1A
，∴△ABC 是
直角三角形 B.
4.如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端，
长 米， 长 米. 设点 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 和 .
(1) 设计中 是铅垂方向. 若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到
米）？
(2) 施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ， ，求
的长（结果精确到 米）.
【 解 析 】 (1) 记CD ＝h.根 据 已 知 得 tanα≥tan2β>0 ，tanα＝ ， tanβ＝ ， 所 以 ≥ >0 ， 解 得
h≤20≈28.28.因此，CD 的长至多约为 28.28 米．
(2) 在△ABD 中，由已知，α＋β＝56.57°，AB＝115，由正弦定理得＝，解得 BD≈85.064.在
△BCD 中，由余弦定理得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosβ，解得 CD≈26.93.所以 CD 的长约
为26.93 米．
例题剖析
【 例 1】 若 ， ， ， ， 则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
而 ， ，因此 ， ，
则 ．
【变式训练 1】
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