《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题03 函数模型（原卷版）

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专题 03 函数模型
专题点拨
随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中 6大学科素养中，其中
2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型
的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外
就是构造函数的能力。
真题赏析
1.(2020·上海)已知 ，其反函数为 ，若 有实数根，
则a的取值范围为______.
2.(2020·上海)设 ，若存在定义域为 R的函数 同时满足下列两个条件：
对任意的 ， 的值为 或 ；
关于 x的方程 无实数解，
则a的取值范围是_________.
3． (2020·上海)在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆
数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通
流量为 ，x为道路密度，q为车辆密度．
，
若交通流量 ，求道路密度 x的取值范围；
已知道路密度 时，交通流量 ，求车辆密度 q的最大值.
例题剖析
【例 1】（2021·上海徐汇·二模）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 f（x）的零点；
（2）针对实数 a的不同取值，讨论函数 f（x）的奇偶性．
【变式训练 1】
（2021·上海·格致中学三模）已知函数 的定义域是 ，满足
且 ，若存在实数 k，使函数 在
区间 上恰好有 2021 个零点，则实数 a的取值范围为____.
【例 2】已知函数
( ) 2 2
x x
f x k
 
（
xR
）
(1) 判断函数
( )f x
的奇偶性，并说明理由；
(2) 设
0k
，问函数
( )f x
的图像是否关于某直线
成轴对称图形，如果是，求出
m
的值；如果不是，请说明理由；
(3)设
1k 
，函数
1
4
( ) 2 2 3
x x
h x a a
 
，若函数
( )f x
与
( )h x
的图像有且只有一个公
共点，求实数
a
的取值范围．
【变式训练 2】
已知函数
( )y f x
，若在定义域内存在
0
x
，使得
0 0
( ) ( )f x f x  
成立，则称
0
x
为函数
( )f x
的局部对称点.
(1) 若
,a b R
且
0a
，证明：函数
2
( )f x ax bx a  
必有局部对称点；
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