《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题02 函数的性质及其应用（原卷版）

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专题 02 函数的性质及其应用
专题点拨
1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，
要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.
2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，
以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.
3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分
离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.
4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加
以推敲掌.
5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握；
6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.
真题赏析
1.(2020·上海)若函数 为偶函数，则 __________.
2.(2020·上海)如图，已知正方形 OABC，其中 ，函数 交 BC 于点 P，
函数 交 AB 于点 Q，当 最小时，则 a的值为__________.
3．(2018·上海)设 是含数 的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图像
绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）.
A. 　　　　 B． 　　　　 C． 　　　　 D．
4.(2021·上海市)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A. B. C. D.
5.(2021·上海市)已知 、 、 、 、 、 为 6 个不同的实数，满足① ，
， ，② ，③ ，以下选项值恒
成立的是
A. B. C. D.
例题剖析
【例 1】 （2021·上海金山·一模）已知定义域为 的函数 .
（1）试判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式训练 1】
（2021·上海黄浦·三模）已知函数 为实常数 .
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 为奇函数时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
【例 2】（2021·上海嘉定·二模）设常数 ，函数 ．
（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；
（2）若函数 在 时有零点，求实数 的取值范围．
【变式训练 2】
（2021·上海普陀·模拟预测）若函数 f(x)对任意的 x∈R，均有 f(x1)+﹣f(x+1)≥2f(x)，则称函
数f(x)具有性质 P.
（1）判断下面两个函数是否具有性质 P，并说明理由；
①y=3x；② y=x3；
（2）若函数 g(x)= ，试判断 g(x)是否具有性质 P，并说明理由；
（3）若函数 f(x)具有性质 P，且 f(0)=f(n)=0(n>2，n∈N*)求证：对任意 1≤k≤n1﹣，k∈N*，
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