《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题02 函数的性质及其应用（解析版）

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专题 02 函数的性质及其应用
专题点拨
1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，
要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.
2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，
以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.
3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分
离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.
4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加
以推敲掌.
5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握；
6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.
真题赏析
1.(2020·上海)若函数 为偶函数，则 __________.
【答案】1
【分析】
根据题意，由函数奇偶性的定义可得 ，变形分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，函数 为偶函数，则 ，
即 ，
变形可得： ，
必有 ；
故答案为：
2.(2020·上海)如图，已知正方形 OABC，其中 ，函数 交 BC 于点 P，
函数 交 AB 于点 Q，当 最小时，则 a的值为__________.
【答案】
【分析】
本题考查幂函数的性质，基本不等式的应用．
由已知可得 P，Q坐标，进而可得 ，由基本不等式可得答案．
【解答】
解：由题意得：P点坐标为 ，Q点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为：
3．(2018·上海)设 是含数 的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图像
绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）.
A. 　　　　 B． 　　　　 C． 　　　　 D．
【答案】B
【解析】 由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 后与
下一个点会重合，我们可以通过代入和赋值的方法当 时，此时得到的圆
心角为 ， ， ，然而此时 或者 时，都有 个 与之对应，而函数的定义
就是要求一个 只能对应一个 因此只有当 ，此时旋转 ，此时满足一个 只会
对应一个 ，因此选 B．
4.(2021·上海市)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用.
根据函数单调性与奇偶性判断即可.
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