《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题01 不等式的性质及其应用（解析版）

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专题 01 不等式的性质及其应用
专题点拨
1．利用基本不等式的性质求解代数式或函数的最值、取值范围时，注意将已知条件
转化为右边等于 1的结构式,再把此等式的左边代数式作为整体去乘以目标代数式的各项或
某几项,并遵循“一正、二定、三相等”的条件．(若是构造函数模型,则需要结合图像加以
分析)
2．在求参数取值范围的问题中，若能分离出参数 ，比如 恒成立，则
； 若 恒 成 立 ， 则 ； 若 可 以 成 立 ， 则
．
3．某些非恒成立(如含有绝对值符号)不等式问题，需要运用分类讨论方法求解.
4．在求参数取值范围的问题中，若不能分离出参数，则尝试通过构造函数(或分类讨
论)加以解决．
真题赏析
1．(2020·上海)已知 a、 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义
进行判断即可．
【解答】
解： 等价于 ，得“ ”，反之也成立，
“ ”是“ ”的充要条件，
故选：
2．(2011·上海)若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】排除法.也可用综合法证明 D 正确.
若 时，可得选项 A 错误；若 时，可得选项 B 错误；
若 时，可得选项 C 错误.
因此，选项 D 正确.
例题剖析
【例 1】已知 ，且 ，则 的最小值是________．
方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质加以解决.
【答案】
【解析】某项乘 1 方法.
.
当且仅当 时，等号成立.
【变式训练 1】
已知 ，直线 经过点 ，则代数式 的最小值是
.
【答案】
【解析】由题设，可得 .
于是， .
当且仅当 时，等号成立.
【例 2】已知 ，且 恒成立，求实数 的取值范围．
方法点拨：先进行变量分离，再用函数最值确定参数范围.
【解析】 分离变量法.根据题设，可得 .
令 .
于是， 恒成立.
因此， .
【变式训练 2】
已知 ，且 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】 分离变量法.因 ，故 .
由条件可得 .
由 ，当 时，等号成立.
于是， .
【例 3】已知函数 对任意 恒有 成立，求代
数式 的最小值．
方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质求解.
【解析】 因 对任意 恒有 成立，则
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