《备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）》专题06 拿高分题目强化卷（第三篇）（解析版）

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冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷 第一期【北京版】
专题 6 3 月一模精选压轴卷（第 6 卷）
1．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷
(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则使按照等差数列的规律计算
得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中 寸表示 115 寸 分（1寸
分），已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130．0寸，夏至晷影长为 14．8寸，那么《易经》中所记录的
惊蛰的晷影长应为（ ）
节气
冬
至
小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水（霜降） 惊蛰（寒露）
晷影（寸） 135
节气
春分（秋
分）
清明（白
露）
谷雨（处
暑）
立夏（立
秋）
小满（大
暑）
芒种（小
暑）
夏至
晷影
（寸）
75．5 16．0
A．72．4寸B．81．4寸C．82．0寸D．91．6寸
【答案】C
【解析】设《易经》中所记录的晷影长为等差数列 ，公差为 ，
由题可得： ，即 ，解得 ，
∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 寸，故选 C．
2．若点 为点 在平面 上的正投影，则记 ．如图，在棱长为 的正方体
中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 、 不
重合） ， ．给出下列三个结论：
①线段 长度的取值范围是 ；
②存在点 使得 平面 ；
③存在点 使得 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】D
【解析】取 的中点 ，过点 在平面 内作 ，再过点 在平面 内作
，垂足为点 ．
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，则 ， ．
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ， ．
对于命题①， ， ，则 ，则 ，
∴，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
∴存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，令 ，
整理得 ，该方程无解，∴不存在点 使得 ，命题③错误．故选 D．
3．小明用数列{an}记录某地区 2019 年12 月份 31 天中每天是否下过雨，方法为：当第 k天下过雨时，记 ak
＝1，当第 k天没下过雨时，记 ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有
雨，方法为：当预报第 k天有雨时，记 bk＝1，当预报第 k天没有雨时，记 bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕
后，小明计算出 a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若 a1b1+a2b2+…
+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用 m，k表示）．
【答案】28
2
m k
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