《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题19 函数中的数列问题(解析版)

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专题 19 函数中的数列问题
一、单选题
1．对于一切实数 x，令 为不大于 x的最大整数，则函数 称为高斯函数或取整函数.若
， ， 为数列 的前 n项和，则 （ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，当 ， ， 时，均有 ，故可知：
.
故选：A
2．已知数列 是等比数列， ， 是函数 的两个不同零点，则 等于（ ）．
A．B．C．14 D．16
【解析】 是函数 的两个不同零点，所以 ，
由于数列 是等比数列，所以 .故选：C
3．若 ， ， 成等差数列，则二次函数 的图象与 轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解析】由 ， ， 成等差数列，可得 ，
所以 ，
所以二次函数 的图象与 轴交点的个数为 1或2.故选：D.
4．已知数列 中，前 项和为 ，点 在函数 的图象上，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】点 在函数 的图象上，则 ，
当 时，则 ，
当 时， ，满足 .故选：A
5．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数 x2+（a4+a6）x+10 零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解析】根据等差数列的性质只 ， ，故二次函数对应的判别式
，所以函数有两个零点，故选 C.
6．已知函数 ，把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，
则该数列的前 n项的和 ,则 ＝（ ）
A．B．C．45 D．55
【解析】函数 图像如图所示，y=x-1 与该函数的交点的横坐标是
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，求和得 45
7．若数列 为等比数列，则称 为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为 ，所以 不是常数，A错误；
因为 ，所以 ，不是常数，B错误；
因为 ，所以 ，
所以数列 为等比数列，故 为等比函数，C正确；
因为 ，所以 ，不是常数，D错误.
故选：C
8．在等差数列 中，a2，a2020 是函数 f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则 的值为
（）
A．－3 B．－ C．3 D．
【解析】因为 ，a2，a2020 是该函函数的两个不同的极值点，
故可得 a2，a2 020 是方程 的两个不等实数根，
故 ，又 是等差数列，故可得 ，
故.故选：B.
9．已知函数 ，且 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
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