《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题18 函数中的新定义问题(解析版)

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专题 18 函数中的新定义问题
一、单选题
1． ， 表示不超过 的最大整数，十八世纪，函数 被“数学王子”高斯采用，因此得名高
斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则 （ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【解析】由题意可知 4－(－4)＝8.故选：D.
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数
与函数 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构
造“同族函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于选项 AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此 AD 都错；
对于选项 C， 在区间 和 上都是单调递减的，且在两个区间上 的取值一正一负，故不
满足，因此 C错；
对于选项 B，函数 ， 和函数 ， 即为“同族函数”，故满足，因此 B正
确.
故选：B.
3．已知函数 的定义域为实数集 R，满足 （M是R的非空子集），在 R上有两个非
空真子集 A，B，且 ，则 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【解析】当 时， ， ， ，
同理得：当 时， ；当 时， ；
故 ，即值域为{1}．故选：B
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称
该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于 A，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以 A不符合题意，
对于 B，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以 B不符合题意，
对于 C，由 ，得当 时， ，即 ，解得 或 ，所以此函数为“不
动点函数”，所以 C正确，
对于 D，由 ，得 ，即 ，方程无解，所以 D不符合题意，，
故选：C
5．四参数方程的拟合函数表达式为 ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个
递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 ），还可以是一条 S形曲线，当 ，
， ， 时，该拟合函数图象是（ ）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线 D．是一条 S形曲线
【解析】依题意可得拟合函数为 ， ，
即 ， ，
由 向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A
6．在函数 区间 D上的导函数为 ， 在区间 D上的导函数为 .若在区间 D上，
恒成立，则称函数 在区间 D上为“凸函数”.已知实数 m为常数， ，若对满足
的任何一个实数 m，函数 在区间 上都为“凸函数”，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由题设， ，则 ，
∴对任意 ，在 上有 恒成立，
令 在 上恒成立，
∴ ，可得 ，
∴ ，故 的最大值为 4.故选：A
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如
，已知函数 ，令函数 ，则 的值域为（ ）
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