《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合(解析版)

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专题 11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合
专项突破一 奇偶性与周期性
1．已知函数 为 R上的偶函数，若对于 时，都有 ，且当 时，
，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C．D．
【解析】∵ 为 上的偶函数，∴ ，
又当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ .故选：A.
2．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-2 B．C．2 D．6
【解析】因为 为 上的奇函数，所以 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 是以 12 为周期的周期函数，所以 .故选：B.
3．已知定义域为 R的奇函数 满足 ，且当 时 ，则
（ ）
A．2 B．1 C．D．
【解析】奇函数 满足 ，
所以 ， 以 4为周期的奇函数.
.故选：A
4．已知 是定义在 R上的奇函数， ，且 ，则
（）
A．2 B．C．4 D．
【解析】 ，∴ ，所以函数 的周期为 ，
则 ，∴ ，
，
， ，故选：B.
5．若函数 满足 ，且当 时， ，则函数 与函数 的图像
的交点个数为（ ）.
A．18 个B．16 个C．14 个D．10 个
【解析】因 ，于是得函数 是以 2为周期的周期函数，又当 时， ，
则有函数 与函数 都是偶函数，
在同一坐标系内作出函数 与函数 的图像，如图，
观察图象得，函数 与函数 的图像有 9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在
时有 9个交点，所以函数 与函数 的图像的交点个数为 18.故选：A
6．定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递减，若方程 在 上有实
数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由 知函数 的图象关于直线 对称，
由 是 上的奇函数知 ，
在 中，以 代 得： 即 ，
所以 ，即 ，
所以 是以 4为周期的周期函数．考虑 的一个周期，例如 ， ，
由 在 ， 上是减函数知 在 ， 上是增函数，
在 ， 上是减函数， 在 ， 上是增函数．
对于奇函数 有 ， （2） ，
故当 时， ，当 时， （2） ，
当 时， ，当 时， （2） ，
方程 在 ， 上有实数根，则这实数根是唯一的，因为 在 上是单调函数，
由于 为奇函数，故 在 上有唯一实根，在 上无实数根.
则由于 ，故方程 在 上有唯一实数．
在 上 ，则方程 在 上没有实数根．
从而方程 在一个周期内有且仅有两个实数根．
当 ， ，方程 的两实数根之和为 ，
当 ， ，方程 的所有四个实数根之和为 ．
故选：C
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有 ，当 时，
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