《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题09 函数的对称性(解析版)

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专题 09 函数的对称性
专项突破一 判断(证明)函数的对称性
1．函数 图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 ，由 向上平移一个单位得到 ，又 关于 对称，所以
关于 对称；故选：B
2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于 A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于 B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于 C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于 D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
3．设函数 ，则下列函数的对称中心为 的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 ，由反比例函数 关于 知，
关于 对称，
选项 A： 由 图像上所有点向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位得到的，所以对称中心
为 ，不满足题意；
选项 B： 由 图像上所有点向左平移 1个单位，再向上平移 2个单位得到的，所以对称中心
为 ，不满足题意；
选项 C： 由 图像上所有点向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位得到的，
所以对称中心为 ，满足题意；
选项 D： 由 图像上所有点向右平移 1个单位，再向下平移 2个单位得到的，
所以对称中心为 ，不满足题意；
故选：C
4．函数 （ 是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．点 对称
C．直线 对称 D．点 对称
【解析】由题意 ，它与 之间没有恒等关系，相加也不为
0，AB 均错，而 ，所以 的图象关于点 对称．
故选：D．
5．有三个函数：① ，② ，③ ，其中图像是中心对称图形的函数共有
（ ）.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】 ，显然函数 的图象是中心对称图形，对称中心是 ，
而 的图形是由 的图象向左平行 3个单位，再向下平移 1个单位得到的，对称中心是 ，
由 得 ，于是 不是中心对称图形，
，中间是一条线段，它关于点 对称，因此有两个中心对称图形．
故选：C．
6．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
【解析】因为 ，当 时 ，
此时 为常数函数，不具有单调性，故 A、B均错误；
因为 ， ，
所以 ，所以 关于 对称，故 C正确，D错误；故选：C
7．函数 的图像关于（ ）对称．
A．原点 B．x轴C．y轴D．直线
【解析】令 ，因 ， ，即 恒成立，
函数 的定义域是 R， ，
因此，函数 是 R上的偶函数，
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