《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题07 函数的奇偶性(解析版)

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专题 07 函数的奇偶性
专项突破一 奇偶性的判断或证明
1．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于 A， ， ， ，故 为非奇非偶函数，
对于 B， ，定义域为 ， ， 为偶函数，
对于 C， ， 为偶函数，
对于 D，易知定义域为 R, ， ， 为奇函数．
故选：D
2．已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是偶函数
【解析】对于 A， ，
且 ， 的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故 A错误，
对于 B， ，
且 ，所以 的定义域关于原点对称，
又 ，所以 为奇函数，故 B正确，
对于 C， ， 且 ，
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故 C错误，
对于 D， ，
且 ，所以 的定义域关于原点对称，
又 ，所以函数 是奇函数，故 D错误，
故选：B
3．下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由于 ， ， 的定义域是 ， ，
所以选项 AD 的函数是偶函数，选项 BC 的函数不是偶函数，排除 BC，
上 是增函数， 是减函数，故选：D．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【解析】(1)（1）∵函数 的定义域是 ，关于坐标原点不对称
∴ 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称．
又 ，∴ 为偶函数．
(3)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称，
∴ 既是奇函数也是偶函数．
(4) 的定义域为 ．
∵
∴ ，∴ 为奇函数．
5．函数 .
(1)判断并证明函数 的单调性；
(2)判断并证明函数 的奇偶性；
(3)解不等式 .
【解析】(1) ，任取 ，令 ，
则 ，
∵ 则 ，可得 ，
∴ 即 ，∴函数 在 上递增．
(2) 的定义域为 ，
∵ 即 ，
∴ 为定义在 上的奇函数．
(3) 即 ，∵函数 在 上递增，
∴ 即 或 ．
6．已知函数 对一切实数 都有 成立， 且 .
(1)分别求 和 的值；
(2)判断并证明函数 的奇偶性．
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