《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题06 函数的单调性(解析版)

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专题 06 函数的单调性
专项突破一 判断或证明函数的单调性
1．下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于 A： 定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，则函数在 上单调递减，故 A错误；
对于 B： 则 ，
所以当 或 时 ，则函数在 和 上单调递增，故 B正确；
对于 C： 定义域为 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 或 时 ，
所以函数在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，故 C错误；
对于 D： ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故 D错误；
故选：B
2．已知函数 满足，对任意 有 ，若 为锐角三角形，则一定成立的
是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】不妨设 ，则 ，又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，故选：C
3．(多选)下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【解析】 ， 定义域是 R，BCD 三个选项中函数定义域都是 R，
A中函数是奇函数，B中函数 ，是奇函数，
C中函数 ，是奇函数，
D中函数， ，是奇函数，
A中函数在定义域内不是减函数，
B中函数由于 是减函数， 是增函数，因此 是减函数，
C中函数， 时， 递增， 递增， 递增，所以 递增，不是减函数，
D中， 时， 是减函数，由于其为奇函数，因此在 上也递减，从而在定义域内递减，
故选：BD．
4．函数 .
(1)判断并证明函数 的单调性；
(2)判断并证明函数 的奇偶性；
(3)解不等式 .
【解析】(1) ，任取 ，令 ，
则 ，
∵ 则 ，可得 ，
∴ 即 ，∴函数 在 上递增．
(2) 的定义域为 ，∵ 即 ，
∴ 为定义在 上的奇函数．
(3) 即 ，
∵函数 在 上递增，
∴ 即 或 ．
5．已知函数 是定义在 上的奇函数，且
(1)用定义证明 在 上单调递增；
(2)若 ，求实数 m的取值范围．
【解析】(1)因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，所以 f，又因为 ，
所以 ，所以 ，ffff所以 ，经检验满足 f，
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