《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题25 导数中的三角函数问题(解析版)

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专题 25 导数中的三角函数问题
1．已知函数 ， ，
(1)已知 ，求 的值；
(2)是否存在 ，使得对任意 ，恒有 成立？说明理由.
【解析】(1)因为 ， ，
所以 ，而 ，由 解得 ．
(2)对任意 ， 恒成立，即
，化简可得， ，所以
时，可使得对任意 ，恒有 成立．
2．设函数 .
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）当 时， 恒成立，求 的范围.
【解析】（1）由 得： ，且 .
由题意得： ，即 ，又 在切线 上.
∴ ，得 .
（2）当 时， ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，此时 .
∴ ，即 在 上单调递増，则 ，
要使 恒成立，即 ，∴ .
3．设函数 ．
（1）若 在 上存在零点，求实数 的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设 ，因为当 时， 为增函数，
当 时， ， ，
所以 在 上恒大于零，所以 在 上不存在零点，
当 时， 在 上为增函数，根据增函数的和为增函数，
所以 在 上为单调函数，
所以 在 上若有零点，则仅有 1个，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围
（2）证明：设 ，则
，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上递增， 在 上恒成立，
所以 在 上递增，而 ，
因为 ，所以 ，所以 恒成立，
所以当 时，
4．已知函数 .
（1）证明：当 时，函数 有唯一的极大值；
（2）当 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）证明： ，因为 ，所以 ，
当 时， ，
令 ，
在区间 上单调递减； ，
存在 ，使得 ，
所以函数 递增区间是 ，递减区间是 .
所以函数 存在唯一的极大值 .
（2）由 ，即令 ，
在区间 上单调减函数， ，只要 即可，即 .
5．已知函数 ．
（1）当 a=2 时，证明： 在 上单调递减．
（2）若对任意 x≥0， 恒成立，求实数 a的取值范围．
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