《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题23 导数之凹凸反转(原卷版)

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专题 23 导数之凹凸反转
不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸
凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数
)(xf
的定义域内某个区间 上的不同
的任意两个自变量的值
21
,xx
，
①总有
1 2 1 2
( ) ( )
( )
2 2
x x f x f x
f 
（当且仅当
1 2
x x=
时，取等号），
则函数
)(xf
在 上是凸函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则 单调
递减， 在 上为凸函数；
②总有
1 2 1 2
( ) ( )
( )
2 2
x x f x f x
f 
（当且仅当
1 2
x x=
时，取等号），
则函数
)(xf
在 上是凹函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则 单调递增， 在 上为凹函数.
1．已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
2．设函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时，证明： 在 上恒成立．
3．设函数 ， ．
（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；
（2）记 ，讨论 的单调性；
（3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围．
4．已知函数 ， ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， ．
5．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
（1）求证： 时， ；
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