《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题23 导数之凹凸反转(解析版)

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专题 23 导数之凹凸反转

不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸

凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.

【知识拓展】一般地，对于函数

)(xf

的定义域内某个区间上的不同

的任意两个自变量的值

,xx

，

①总有

1 2 1 2

( ) ( )

( )

2 2

x x f x f x

f 



（当且仅当

1 2

x x=

时，取等号），

则函数

)(xf

在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的

任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调

递减，在上为凸函数；

②总有

1 2 1 2

( ) ( )

( )

2 2

x x f x f x

f 



（当且仅当

1 2

x x=

时，取等号），

则函数

)(xf

在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的

任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数.

1．已知函数 .

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明： .

【解析】（1）由，得恒成立，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，

所以，即，故的取值范围是；

（2）有（1）知时，有，所以 .

①要证，可证，只需证，易证，所以；

②要证，可证，

易证，由于，所以，所以，

综上所述，当时，证明： .

2．设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：在上恒成立．

【解析】（1）当时，，

当时，；当时，．

在上单调递增，在上单调递减；

在处取得极大值（2），无极小值；

（2）当时，，下面证，即证，

设，则，

在上，，是减函数；在上，，是增函数．

所以，设，则，

在上，，是增函数；在上，，是减函数，

所以，

所以，即，所以，即，

即在上恒成立．

3．设函数，．

（1）判断函数零点的个数，并说明理由；

（2）记，讨论的单调性；

（3）若在恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）由题意得：，，故在递增；

又（1），（e），故函数在内存在零点，

的零点个数是 1；

（2），，

当时，，在递减，

当时，由，解得：（舍取负值），

时，，递减，，时，，递增，

综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；

（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，

设，若记，则，

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