《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题21 必要性探路(端点效应)(解析版)

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专题 21 必要性探路(端点效应)
含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:①
分离参数＋函数最值;② 直接化为最值＋分类讨论.
但当问题具有区间端点（定义域内一点）的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这一显著特征时，
应运用“零点、端点效应”.
其具体方法是：先在定义域内取这个特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，显然这个取值范
围是不等式恒成立的一个必要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性. 接
下来在这个条件下继续求解，然而有趣的是在后面的解答中我们发现求出的这个范围恰好是不等式恒成立
的充分条件，也就是说赋值法求出的参数取值范围有时恰好是题目所求的取值范围.
必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下：
1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见
的几种缩小参数范围的思路：
(1)若 在
[
a , b
]
(a,b为常数)
上恒成立，则
f(x)
在区间端点处也成立，即
此法应用于区间端点值包含参数的情况.
(2)若
f(x , a )≥0(a为参数 )
在
[
a , b
]
(a , b 为常数)
上恒成立，且
f(a)=0（或 f(b)=0）,
则 此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
(3)若
f(x)≥0(a为参数 )
在
[
a , b
]
(a , b 为常数)
上恒成立，且 ，
则 此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
(4)若 在 上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
(5)若 在 上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；
（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包
括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如 等）.
1．是否存在正整数 ，使得 对一切 恒成立?试求出 的最大值.
【解析】易知 对一切 恒成立，当 可得 ，则 仅可取 1、2
下证 时不等式恒成立，设
在 单调递减， 单调递增，
当 时，不等式恒成立，所以 最大为 2.
2．求k的最大整数值.
【解析】令 ，显然
因此 的最大整数值可能是 4，下证 时恒成立
由 即
所以
3．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ， ， （1） ， （1） ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
当 时， ，当 时， ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 ．
（2）方法五： 等价于 ，该不等式恒成立．
当 时，有 ，其中 ．
设 （a） ，则 （a） ，
则 （a）单调递增，且 （1） ．
所以若 成立，则必有 ．
下面证明当 时， 成立．
设 ， ，
在 单调递减，在 单调递增， ， ，即 ，
把 换成 得到 ， ， ．
，当 时等号成立．
综上， ．
4．已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 ，且 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
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