《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题20 极值点偏移问题(解析版)

3.0 envi 2025-03-07 4 4 2.12MB 35 页 3知币
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专题 20 极值点偏移问题
1．极值点偏移的含义
若单峰函数 f(x)的极值点为 x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
极值点 x0函数值的大小关系 图示
极值点不偏移 x0＝f(x1)＝f(2x0－x2)
极值点偏移
左
移x0<
峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2)
右
移x0>
峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2)
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1) 若函数 f(x)在定义域上存在两个零点 x1，x2(x1≠x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数 f(x)的极值点)；
(2) 若在函数 f(x)的定义域上存在 x1，x2(x1≠x2)满足 f(x1)＝f(x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数 f(x)的极值点)；
(3)若函数 f(x)存在两个零点 x1，x2(x1≠x2)，令 x0＝，求证：f′(x0)>0；
(4)若在函数 f(x)的定义域上存在 x1，x2(x1≠x2)满足 f(x1)＝f(x2)，令 x0＝，
求证：f′(x0)>0.
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1 对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(6)转化，即利用函数 f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进
而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.5 指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
专项突破练
1．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，令 ，得 x＝1，当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故函数 的减区间为 ，增区
间为 ；
（2）由（1）知，不妨设 ，构造函数 ， ，
故 ，故 在 上单调递减， ，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，即
，∵ ，∴ ， ，又∵ 在 上单调递增，∴ ，
即 ，得证．
2．已知函数 .
(1)若 是增函数，求实数 a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
【解析】(1)函数的定义域为 ， ，
若 是增函数，即 对任意 恒成立，故 恒成立，
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