《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题18 构造函数法解决导数问题(原卷版)

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专题 18 构造函数法解决导数问题

1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算

法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类

问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然

后利用该函数的性质解决问题．

2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、

逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数 y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．

(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、

逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数 y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决

问题．　　

(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、

逆用“＝′”，构造可导函数 y＝，再利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　

3．构造函数解决导数问题常用模型

(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax.

(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．

(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．

(4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.

(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．

(6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝.

题型一　构造 y＝f(x)±g(x)型可导函数

1．设奇函数 f(x)是R上的可导函数，当 x>0 时有 f′(x)＋cos x<0，则当 x≤0时，有(　　)

A．f(x)＋sin x≥f(0)　　　B．f(x)＋sin x≤f(0) C．f(x)－sin x≥f(0) D．f(x)－sin x≤f(0)

2．设定义在 R上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1，则下列结论一定错误的是(　)

A．f<　　　　　B．f> C．f< D．f>

3．已知定义域为 R的函数 f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意 x∈R，都有 f′(x)＋2>0，

则不等式 f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集为(　　)

A．(－∞，0)∪(0,1)　　 B．(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)

4．设定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1)＝2，f′(x)<1，则不等式 f(x2)>x2＋1的解集为________．

5．定义在 R上的函数 f(x)，满足 f(1)＝1，且对任意 x∈R都有 f′(x)＜，则不等式 f(lg x)＞的解集为

__________．

题型二　构造 f(x)·g(x)型可导函数

1．设函数 f(x)，g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且 g(3)＝

0，则不等式 f(x)g(x)>0 的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞)　　 B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

2．设 y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线 f(x)在点(1,2)

处的切线为 y＝g(x)，且 g(a)＝2 018，则 a等于(　　)

A．－501 B．－502 C．－503 D．－504

3．设定义在 R上的函数 f(x)满足 f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且 f(0)＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在R上单调递减 B．f(x)在R上单调递增

C．f(x)在R上有最大值 D．f(x)在R上有最小值

4．已知 f(x)是定义在 R上的增函数，其导函数为 f′(x)，且满足＋x<1，则下列结论正确的是(　　)

A．对于任意 x∈R，f(x)<0 B．对于任意 x∈R，f(x)>0

C．当且仅当 x∈(－∞，1)时，f(x)<0 D．当且仅当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0

5．若定义在 R上的函数 f(x)满足 f′(x)＋f(x)>2，f(0)＝5，则不等式 f(x)<＋2的解集为________．

6．设函数 f(x)在R上的导函数为 f′(x)，且 2f(x)＋xf′(x)＞x2，则下列不等式在 R上恒成立的是(　　)

A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＞x D．f(x)＜x

7．已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)＋2f′(x)＞0恒成立，且 f(2)＝(e 为自然对数的底数)，

则不等式 exf(x)－e＞0的解集为________．

题型三　构造型可导函数

1．设 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0, 当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得 f(x)＞0成立的 x

的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)　　　 B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)

2．已知 f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且 f(x)>xf′(x)，则不等式 x2f－f(x)<0 的解集为________．

3．已知 f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有 f(x)＞f′(x)，则有(　　)

A．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) B．e2 019f(－2 019)＜f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)

C．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＞e2 019f(0) D．e2 019f(－2 019)＞f(0)，f(2 019)＜e2 019f(0)

4．已知定义在 R上函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)>0，g(x)>0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0.

若a，b∈R＋且a≠b，则有(　　)

A．fg>f()g() B．fg<f()g()

C．fg()>gf() D．fg()<gf()

5．设 f′(x)是函数 f(x)(x∈R)的导函数，且满足 xf′(x)－2f(x)>0，若在△ABC 中，角 C为钝角，则(　　)

A．f(sin A)·sin2B>f(sin B)·sin2A B．f(sin A)·sin2B<f(sin B)·sin2A

C．f(cos A)·sin2B>f(sin B)·cos2A D．f(cos A)·sin2B<f(sin B)·cos2A

6．定义在 R上的函数 f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若 x1＜x2，则 e x1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(　　)

A．ex1

1f(x2)＞ex2f(x1) B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)

C．ex1f(x2)＝ex2f(x1) D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定

专项突破练构造函数法解决导数问题

一、单选题

1．已知是定义在 R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，

则的解集是（）

A．B．

C．D．

2．定义在上的函数的图象是连续不断的一条曲线，且，当时，，

则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

3．是定义在 R上的函数，是的导函数，已知，且，，则

不等式的解集为（）

A．B．C．D．

4．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式

的解集是（）

A．B．

C．D．

5．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若

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