《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

3.0 envi 2025-03-07 17 4 1.51MB 23 页 3知币
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专题 17 参变分离法解决导数问题
1.分离变量法
在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
一、单选题
1．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
显然 在区间 的最小值为 ，所以 ．故选：B．
2．若函数 在 上是增函数，则实数 a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为函数 在 上是增函数，
所以 在 上恒成立，即 ，即 恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故选：B
3．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 在 上恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】若 在 上恒成立，则 在 上恒成立等价于
在 上恒成立，令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，故 .故选：B.
4．关于 x的方程 在 内有解，则实数 m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解析】当 时，可得 显然不成立；
当 时，由于方程 可转化为 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数 取唯一的极大值，也是最大值，
所以 ，所以 ，即 ，所以实数 m的取值范围 .故选：A.
5．若函数 没有极值点，则实数 a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得， 没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即 没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令 ， ，则 ，
令 则 在 上单调递减且 ，
所以当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，又 时， ， 时， ，
结合图象可知， 即 .故选：C.
6．若对任意正实数 x，不等式 恒成立，则实数 a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为不等式 恒成立， ，所以 恒成立，
设 ，则 ，
因为 ，令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故选：A
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